5. Возведение комплексных чисел в степень. Формула Муавра.
Из формулы (2), п. 4, вытекает, что если
то
Иными словами, при возведении комплексного числа z в степень с натуральным показателем его модуль возводится в степень с тем же показателем, а аргумент умножается на показатель степени:
Рис. 43
Вычислим, например, 
Для этого сначала найдем модуль и аргумент числа 
Мы имеем:
Отсюда 
, значит, тригонометрическая форма числа 
имеет вид:
Но тогда по формуле (1) имеем:
Разумеется, возведение в степень по формуле бинома Ньютона было бы здесь гораздо сложнее.
Отметим частный случай формулы (1), называемый формулой Муавра. Положим в равенстве 
Мы получим, что
Этой формулой можно пользоваться для выражения синусов и косинусов кратных углов через синусы и косинусы угла 
Например, при 
получаем:
Но из равенства комплексных чисел вытекает равенство действительных и мнимых частей. Поэтому
Упражнения
(см. скан)
