3. Свойства степеней с рациональными показателями.

Докажем, что для степеней с рациональными показателями сохраняются основные свойства степеней с натуральными показателями.

Сначала докажем, что при и любом рациональном

Пусть где . Тогда равенство (1) примет вид

Возведем обе части равенства (1) в степень . В силу формулы (I), и свойства 1) степеней с натуральным показателем имеем:

С другой стороны,

Мы доказали, что степени обеих частей доказываемого равенства (1) имеют одно и то же значение хрур. Поэтому по утверждению б), п. 2, справедливо и равенство . Но тогда справедливо и равенство (1).

Совершенно так же доказывается, что если — рациональное число, то

Теперь докажем, что при для любых рациональных чисел и выполняется равенство:

Сначала рассмотрим случай, когда изображаются дробями с одинаковыми знаменателями:

В этом случае доказываемое равенство принимает вид:

Возведем обе части этого равенства в степень Мы получим, что

С другой стороны,

Таким образом, степени обеих частей равенства (4) имеют одно и то же значение а потому равенство (4) справедливо.

Итак, равенство (3) доказано для случая, когда изображаются дробями с одинаковым знаменателем. Но любые два рациональных числа можно представить в виде дробей с одинаковыми знаменателями: если можно положить Поэтому равенство (3) верно для любых рациональных чисел

Совершенно так же доказывается выполнение равенства

для положительных х и рациональных

Наконец, докажем, что если х — положительное число и — рациональные числа, то

В самом деле, пусть . Нам надо доказать, что

Для этого возведем обе части равенства (7) в степень По формуле мы имеем

С другой стороны,

Так как степени обеих частей доказываемого равенства (7) имеют одно и то же значение , то это равенство справедливо. Тем самым доказано и равенство (6).