8.5.3. Доверительный интервал в линейном регрессионном анализе

ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ ДЛЯ НАКЛОНА ЛИНИИ РЕГРЕССИИ

Доверительный интервал для показателя наклона Р опредг пределы значений с ошибкой выборки Р, в которых с вероятностью дится р. Другими словами, для выборок истинное значение лежать в данном доверительном интервале. Доверительный интервал имеет вид, что и которые рассматривались в гл. 5:

Из вышеизложенного мы знаем, что:

Рассчитаем -ный доверительный интервал для наклона линии регреа примере 8.1 о времени и расстоянии поставок:

С вероятностью 95% мы можем сказать, что значения Р лежат между 25 3,31 мин на милю; и 5% — вероятность того, что значение Р лежит вне интервала.

ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ ДЛЯ СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ у ПРИ ДАННОМ ЗНАЧЕНИИ х

Теперь вернемся к основному предположению о том, что для данного значения х, обозначим его возможные значения у нормально распределены. Среднее значение этих нормальных распределений — значение у на линии регрессии генеральной совокупности. Обозначим среднее значение Доверительный интервал для с вероятностью имеет вид:

где у — оцененное значение у, вычисленное из выборочной регрессии

Заметим, что доверительный интервал зависит от значения Поэтому ширина интервала варьирует по мере изменения х. Интервал является наименьшим, когда В этом случае интервал примет более знакомый нам вид:

Ширина интервала растет по мере того, как увеличивается отличие от х в любом направлении.

В примере 8.1 при вероятности 95% доверительный интервал равен:

где:

Значения для этого интервала будут вычислены в следующем разделе.

ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ ДЛЯ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ у ПРИ ДАННОМ ЗНАЧЕНИЯ х

Остановимся на следующем предположении для данной модели, что значения у распределены вдоль линии регрессии с вариацией которая одинакова для всех значений х. Так как мы используем выборку, то существуют два элемента изменяемости признака у. Один исходит из оцененной позиции математического ожидания (среднего) а Другой — из отклонений индивидуальных значений от своего среднего значения.

Эти два элемента различны: во-первых, благодаря колебаниям внутри выборки, которые могут быть сокращены, если увеличится размер выборки; во-вторых, благодаря природе переменных эти колебания неизбежны. Поэтому утверждать доверительный интервал для индивидуальных значений у не похож на другие доверительные интервалы, которые полностью подвержены эффекту выборочных колебаний. Некоторые исследователи считают их интервалами «прогноза», а не доверительными интервалами. Но как бы их ни называли, важно понять различие между , интервалом для и интервалом для индивидуальных значений у при данном х.

Выражения доверительных интервалов очень похожи между собой. Единственным значимым различием является то, что вариация для индивидуальных у при данном значении х увеличивается на величину -ный доверительный интервал для индивидуальных значений у при имеет вид:

где:

С вероятностью 95% доверительный интервал в примере 8.1 составит:

Табл. 8.4 и рис. 8.19 показывают изменения двух доверительных интервалов по мере того, как меняется

Таблица 8.4. Вычисление доверительных интервалов для и для у при данном значении но данным примера 8.1

Даже всего лишь при значениях приходится делать долгие и сложные вычисления. Используя большую часть работы можно сделать очень быстро. Важно понять, что делает та или иная программа и как интерпретировать ее результаты. К сожалению, различные программы имеют небольшое количество символов и знаков. Если вы имеете пакет программ по регрессионному анализу, то разберитесь сначала с простым примером, как в этой книге, а затем используйте Сравните производительность компьютера и вычислений вручную и тогда вы все поймете. Доскональное понимание двух различных линейных моделей также поможет, когда вы приступите к множественной регрессии, расчеты по которой всегда должны производиться на компьютере.

Рис. 8.19. Доверительные интервалы для для у при данном для выборки,