Упрощенный критерий колебательности.

Рассмотрим систему

Сделаем допущения:

1) передаточная функция невырождена;

2) система имеет единственное стационарное состояние т. е. прямая о пересекается с графиком нелинейности только в начале координат, если и с прямой если

3) существует производная функция кусочнонепрерывна, линеаризованная в нуле система (т. е. система с обратной связью не имеет периодических решений;

4) существует предел

Пусть для рассматриваемой системы построены секторы абсолютной устойчивости и абсолютной неустойчивости. Тогда:

— если график нелинейности целиком расположен в секторе устойчивости то система устойчива в целом;

— если график расположен целиком в секторе неустойчивости то система неустойчива в целом;

— если график при лежит в секторе неустойчивости а при кривая входит в сектор устойчивости и остается там, вокруг точки возникают автоколебания [кривая на рис. 7.44]. При этом числа определяются как абсциссы точек пересечения характеристики с лучами, ограничивающими секторы неустойчивости в верхней и нижней полуплоскостях.

Определение границ секторов абсолютной устойчивости и неустойчивости выше иллюстрировалось на примере, где нелинейность принадлежит сектору , и использовался критерий Попова. При нелинейностях из другого класса используются другие соответствующие частотные критерии.

Числа являются нижними оценками размаха колебаний, истинная величина размаха может быть больше.

Пример 7.3. Покажем, как частотный критерий может быть использован при неустойчивой линейной части.

Пусть передаточная функция равна

т. с. в состав линейной части входит неустойчивое звено.

Представим схему системы в виде, изображенном на рис. 7.45, а и запишем уравнения в переменных состояния в виде

Иногда удается преобразовать линейную часть наиболее простым способом, охватив ее отрицательной обратной связью:

где g — скалярная постоянная. Тогда

Однако следует проверить, существует ли такое преобразование, т. е. существует ли такое при котором характеристический полином линейной части будет гурвицевым.

В нашем случае, подставив в получим новые уравнения:

Характеристический полином новой системы

Рис. 7.45

Рис. 7.46

Отсюда видно, что такое стабилизирующее значение существует, если

Пусть это условие выполнено. Тогда, включив обратную связь, получаем устойчивую линейную часть с передаточной функцией и можем применить частотный критерий. Но чтобы схема с такой преобразованной линейной частью осталась эквивалентной исходной, нужно соответствующим образом видоизменить и нелинейный элемент. Новая нелинейная характеристика теперь будет поэтому на схеме нужно охватить нелинейный элемент отрицательной параллельной связью с тем же коэффициентом (рис. 7.45, б)

Если характеристика принадлежала, например, сектору и для нее можно было (в случае устойчивой линейной части) использовать критерий Попова, то теперь нелинейность принадлежит другому сектору:

Вместо критерия Попова теперь уже нужно применить более сложный критерий: или круговой, или, если система стационарна, его можно усовершенствовать способом, аналогичным тому, который использовался при получении критерия Попова. Такое расширение условия Попова на системы с нелинейностью из нового сектора имеет вид

Пусть теперь и стабилизация рассмотренного простейшего вида невыполнима. Найдем виде вектора . Введем переменную , подставив ее в исходные уравнения (7.89), получим новые уравнения:

Характеристический полином этой системы

Так как то можно выбрать

Преобразованные передаточная функция линейной части и нелинейного элемента теперь будут

Нелинейность получилась достаточно сложной (рис. 7.46), зависящей не только от , но и от , и можно применить общий частотный критерий, который можно будет вывести из общего условия (7.72).