§ 2. Векторно-векторное произведение трех векторов

1. Векторно-векторное произведение трех векторов на определению получается векторным умножением векторного произведения двух векторов на третий вектор с:

Нашей целью будет получение формулы разложения, которая выражает это произведение через простейшие и которая фактически исчерпывает всю теорию векторно-векторного произведения.

2. Формула разложения векторно-векторного произведения.

Векторно-векторное произведение трех векторов является вектором. Мы обозначим его

Этот вектор является векторным произведением вектора и вектора с. Поэтому вектор перпендикулярен и к вектору и к вектору с (рис. 53).

Рис. 53.

Из перпендикулярности вектора к векторному произведению вытекает, что он лежит в плоскости перемножаемых векторов так как они тоже перпендикулярны своему векторному произведению. Следовательно, вектор компланарен векторам а, b и разлагается по Запишем это разложение так:

Из перпендикулярности векторов Кис вытекает, что их скалярное произведение равно нулю. Поэтому, умножив скалярпо обе части формулы разложения (4.6) на с, мы получим

или

Обозначив эти равные отношения через о, т. е.

мы найдем

Подставив эти выражения для в формулу разложения (4.6), мы получим

Теперь остается определить скаляр С этой целью введем систему координат: ось направим но вектору а, ось проведем перпендикулярно к ней в плоскости векторов тогда ось направится по перпендикуляру к этой плоскости. Разлагая векторы с по ортам осей введенной координатной системы, мы получим

Вычислим, во-первых, по исходной формуле (4.5):

следовательно,

Вычислим, во-вторых, по найденной формуле (4.7):

слодоватсльио,

Сравнивая полученные выражения (4.8) и (4.9) для вектора мы заключаем, что Следовательно, наша формула (4.7) для принимает вид

С другой стороны, ввиду (4.5) вектор обозначает векторно-векторное произведение:

Сопоставив оба эти выражения для мы и получим искомую формулу разложения векторно-векторного произведения:

Эта замечательная формула вырансает векторно-векторное произведение любых трех векторов через их простейшие произведения.

Замечали При выводе формулы (4.11) мы неявным образом опирались на два допущения: 1) векторы предполагались не коллинеарными; предполагалось, что векторы перпендикулярны вектору с одновременно. Однако если хотя бы одно из этих допущений не выполняется, то обе части нашей формулы (4.11) обращаются в пуль и она, следовательно, сохраняет свою силу независимо от этих допущений.