9.5. Планы, имеющие структуру простых блоков

Помимо рассмотренных выше планов с перекрестной классификацией, используются также так называемые иерархические, или гнездовые, планы. Предположим, например, что рассматривается городов, в каждом из которых имеется по фабрик, и что с каждой из этих фабрик берется выборка объема так что имеется модель

Тогда подходящей перепараметризацией этой модели будет

или, поскольку

с идентифицирующими ограничениями (для всех Интерес здесь представляют гипотезы (нет изменчивости внутри каждого города) и (нет изменчивости между городами). Соответствующее разложение для имеет вид

Здесь мы опять имеем ортогональное разложение вектора 8, и -статистики для проверки гипотез получить поэтому легко. Подробности этого мы оставляем в качестве упражнения (см. упр. 3 в конце главы).

Многие из используемых в настоящее время планов соответствуют смесям перекрестной и гнездовой классификации. Если в каждой гнездовой классификации используется одинаковое число более мелких ячеек внутри каждой более крупной, то говорят, что такой план имеет структуру простых блоков, и в этом случае имеется следующая элегантная теория работы с такими планами, принадлежащая Nelder [Nelder (1965а, b)].

Любую структуру с простыми блоками можно получить, используя две основные операции: построение гнездовой классификации (обозначается символом и построение перекрестной классификации (обозначается символом Две простейшие структуры имеют вид (классификация по одному признаку с равными числами наблюдений на каждое среднее) и (классификация по двум признакам с одним наблюдением на каждое среднее). Каждый из элементов в этих выражениях сам может являться выражением такого же типа, так что из указанных простейших структур мы получаем, например, такие структуры: (иерархический план, описанный выше), (классификация по двум признакам с равными числами наблюдений для каждого среднего) и (классификация по трем признакам с одним наблюдением на каждое среднее). Заметим, что

Изменим теперь нескольно наши обозначения, и пусть теперь - наблюдение, соответствующее такого типа плану с "блоками" так что, например, обозначается при этом как Пусть -число ячеек в так что Первый этап дисперсионного анализа для подобного плана состоит в установлении тождеств для чисел степеней свободы. Например, для плана имеем (ср. с табл. 9.1 из разд. 9.1.2)

где План приводит к тождеству

Тождества для более сложных структур можно получить, используя следующие две функции, соответствующие построению гнездовой и перекрестной классификаций:

и

Правила использования этих функций заключаются в следующем:

(1) Если при подстановке некоторого значения в выражения этих функций какое-то из слагаемых (например, обращается в нуль, то им пренебрегают; появляющиеся в качестве сомножителей единицы отбрасывают. Например,

и

(2) Аргументы функций сами могут являться такими функциями. В этом случае опять равно где теперь является выражением вида или С. Однако входящее в представление надо понимать уже как алгебраическую сумму всех составляющих, входящих в представление и для него используется обозначение или С.

Пример 9.1.

Пример 9.2.

Пример

Альтернативным образом, используя (9.53), получаем

После того как тождество установлено, уже не представляет труда получить подходящую перепараметризацию для и соответствующее ортогональное разложение для Например, соответственно соотношению (9.54) мы имеем перепараметризацию (9.50), (9.51) и разложение (9.52): мы сопоставляем каждой части каждого из слагаемых в (9.54) среднее значение вектора тем же знаком и с усреднением по всем отсутствующим индексам. В случае, соответствующем примеру 9.3, приведенному выше, имеем

т. е.

с обычными идентифицирующими ограничениями (для всех Все параметры в (9.58), за исключением, быть может, соответствуют гипотезам, заслуживающим интереса. Оценки наименьших квадратов этих параметров являются просто соответствующими членами в таком же разложении для Например, В справедливости этого простого метода отыскания оценок наименьших квадратов можно убедиться, используя аналогичное разложение

для Такое разложение приводит к соотношению

Подстановка и использование идентифицирующих ограничений приводят к указанным оценкам наименьших квадратов. Если предположить, что то, используя -статистику с суммой в знаменателе, можно проверить гипотезы о равенстве нулю элементов множеств параметров Суммы квадратов, которые должны стоять в числителях соответствующих статистик, находятся с помощью соотношения (9.59), выраженного как тождество относительно Соответствующие степени свободы задаются тождеством (9.56). Таблица дисперсионного анализа получается из разложения

Указанные простые правила служат основой общей компьютерной системы позволяющей работать с широким классом линейных моделей. Ссылки и дальнейшие подробности относительно этой системы имеются в работе Wilkinson, Rogers (1973).

Упражнения к гл. 9

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)