Глава I. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕКТОРЫ

1.1. Обозначения

Матрицы и векторы обозначаются в книге жирными буквами А и а соответственно, а скалярные величины — курсивом. Случайные величины представлены прописными, а их значения — строчными буквами (например, соответственно). Употребление прописных букв для обозначения случайных величин, являющееся, по-видимому, достаточно широко принятым, оказывается особенно полезным в регрессионном анализе, обеспечивая возможность различать фиксированные и случайные регрессоры (независимые переменные). Однако оно же порождает и некоторые проблемы, поскольку вектор, образованный случайными величинами, скажем можно принять за матрицу. Из-за ограниченности алфавита в гл. И для обозначения случайных векторов иногда используются не прописные, а строчные буквы.

Если — две случайные величины, то символами (или, короче, обозначаются соответственно математическое ожидание, дисперсия, ковариация и условное математическое ожидание.

Матрица размера диагональные элементы которой равны соответственно, а остальные элементы нулевые, обозначается символом . В частности, при получаем единичную матрицу

Вектор-столбец а размера с элементами записывается в виде Длина (норма) такого вектора обозначается через Таким образом, имеем

Вектор, у которого обозначается символом

Матрица А размера с элементами записывается в виде а ее след (т. е. сумма ее диагональных

элементов) обозначается через образом, где меньшее из чисел Матрица, получаемая из А транспонированием, обозначается где Если А — квадратная матрица, то детерминант, и если она не вырождена, то - обратная к ней матрица. Пространство, натянутое на столбцы матрицы А, называется образом матрицы А и обозначается символом А]. Нуль-пространство, или ядро матрицы А (т. е. совокупность тех значений х, для которых обозначается символом

Мы используем запись если случайная величина имеет нормальное распределение со средним 0 и дисперсией Если при этом то имеет стандартное нормальное распределение. Символами обозначаются соответственно распределения и хи-квадрат с степенями свободы. Символом обозначается -распределение с степенями свободы.

Наконец, упомянем об использовании точки и черты для сокращенного представления соответственно сумм и средних значений:

Если суммируются величины, обозначаемые буквами с одним индексом, то соответствующее среднее значение записывается в виде а, без употребления точки.

Предполагается, что читатель знаком с элементами линейной алгебры. Чтобы освежить в памяти основные ее положения, можно обратиться, например, к книгам Scheffe (1959, приложение), Graybill (1961, 1969), Rao (1973, гл. 1). Тем не менее мы включили ряд результатов, относящихся к алгебре матриц, в приложения в конце настоящей книги. Ссылки на результаты, содержащиеся в этих приложениях, имеют, например, вид А2.3.