Задача 137. Плоские волны для частиц со спином 1/2

Разложить плоскую волну, описывающую свободную частицу со спином V, в ряд по сферическим гармоникам. Рассмотреть случаи положительной и отрицательной спиральности. Считать, что волна распространяется в положительном направлении оси

Решение. Плоским волнам, распространяющимся в положительном направлении оси отвечают два спинора

В состоянии спин частицы направлен по движению, и мы говорим о положительной спиральности, . В состоянии спин направлен против движения, и Если разложить рассматриваемые спиноры по собственным функциям полного момента количества движения, то в обоих случаях для состояния и для состояния

В задаче 133 было показано, что при данном значении орбитального квантового числа имеется два рода общих собственных спиноров операторов и а именно

если

если причем функция удовлетворяет радиальному уравнению Шредингера. Для свободной частицы оно имеет вид

и для регулярного в нуле решения (нормировка произвольная) мы имеем выражение

Теперь разложение плоской волны по решениям (137.2а) и (137.26) можно записать в следующем виде:

Мы начнем со случая положительной спиральности когда Равенство (137.5) в этом случае принимает вид

Чтобы вторая компонента спинора обратилась в нуль, как это требуется согласно равенству (137.1), мы должны положить

Таким образом, получаем

Из сравнения последнего выражения с обычным разложением плоской волны [см. формулу (81.13)],

следует

поэтому окончательное выражение принимает вид

В противоположном случае, когда равенство (137.5) записывается в виде

Теперь, согласно равенству (137.1), должна обратиться в нуль первая компонента спинора, следовательно,

Далее из сравнения с разложением (137.9) вытекает

поэтому окончательно мы приходим к разложению вида