Лекция 23. Нестационарная теория возмущений. Борновское приближение

Пусть гамильтониан системы имеет вид

Но — невозмущенный гамильтониан — не зависит от времени, гамильтониан возмущения — может содержать временную зависимость. Стационарное (невозмущенное) уравнение Шредингера

имеет решение

где а — постоянные коэффициенты, собственные функции уравнения

Требуется найти решение уравнения Шредингера для системы с гамильтонианом (23.1), которое точно мы не можем решить. Для нахождения приближенного решения можно воспользоваться нестационарной теорией возмущений.

Представим решение возмущенного уравнения Шредингера

в виде

где коэффициенты разложения, подлежащие определению. Подставим (23.6) в уравнение (23.5); затем, умножив полученное равенство слева на и воспользовавшись свойством ортонормированности функций и уравнением (23.4), получим:

где

Система уравнений для является точной, а не приближенной, так что фактически она эквивалентна точному уравнению Шредингера (23.5). Будем, однако, решать эти уравнения приближенно, методом итераций: подставим в правую часть (23.7) коэффициенты невозмущенного решения в качестве первого приближения к Приближенное выражение для после интегрирования по времени запишется как

Важный частный случай. Пусть при система находится в состоянии Тогда а все другие коэффициенты равны нулю. Отсюда

Матричный элемент определяет переход из состояния в состояние

Переходы из состояния во все прочие состояния вообще. Положим не зависящим от времени. Интеграл в (23.10) Равен

Вероятность перехода за время действия возмущения из состояния в одно состояние (рис. 14) — равна

Рис. 14. Переход с уровня в континуум состояний

Отсюда вероятность перехода во все состояния вообще

Здесь интегрирование дает (известный несобственный интеграл равен

Тема для обсуждения: Зависимость конечного распределения по состояниям от времени и связь между характером этого распределения и принципом неопределенности.

Пример. Борновское приближение.

Рассмотрим процесс рассеяния заряженной частицы на потенциале понимая его как гамильтониан возмущения. Он не зависит от времени (сохранение энергии). Импульс падающей частицы обозначим через а импульс рассеянной — через (рис. 15). Итак, условия задачи:

Рис. 15

Начальное и конечное состояния представим как падающую и рассеянную волны (функции нормируются на «ящик» Поскольку временные части волновых функций одинаковы (ввиду сохранения энергии), запишем их пространственные части и матричный элемент перехода (из начального состояния в конечное):

Таким образом, матричный элемент равен фурье-образу потенциальной энергии взятому с аргументом Число конечных состояний в телесном угле на единичный интервал энергий равно

начальная скорость частицы, верно и в релятивистском случае).

Тогда скорость переходов в телесный угол (вероятность рассеяния в за единицу времени) равна

отсюда

Формула (23.17) дает эффективное дифференциальное сечение рассеяния В нерелятивистском случае

Рис. 16

Пределы применимости полученных результатов. Рекомендуется обсудить пределы применимости борновского приближения. В частности, в случае рассеяния на прямоугольной яме (рис. 16) такое условие имеет вид

где ширина потенциальной ямы, ее глубина (модуль рассеивающего потенциала). Это соответствует слабому возмущению (в скобках стоит разность импульсов частицы вне и внутри ямы).

Рассеяние на кулоновском центре. Потенциальная энергия заряда в поле рассеивающего заряда равна

отсюда фурье-образ матричного элемента [см. (23.15)] есть

При интегрировании здесь полезно учесть соотношение

Для сечения рассеяния получим:

т.е. известную классическую формулу Резерфорда.

Темы для обсуждения:

1. Рассеяние на потенциальной яме и ядерные силы.

2. Предел больших длин волн — изотропное рассеяние.

3. Предел малых длин волн — рассеяние вперед.

4. Роль массы покоя (случай нейтрино).

5. Экспоненциальный закон распада некоторой первоначально связанной системы [случай (23.11)].