Лекция 26. Электрон в центральном поле

Потенциальная энергия заряда в центрально-симметричном электростатическом поле

Рассмотрим сначала классическое спин-орбитальное взаимодействие электрона, движущегося в центрально-симметричном поле ядра (рис. 19).

Рис. 19. Движение электрона в центральном электростатическом поле

При движении в кулоновском поле со скоростью электрон испытывает воздействие эффективного магнитного поля, напряженность которого приближенно равна Выражая напряженность кулоновского поля в виде градиента его потенциала, можем ввиду его центральной симметрии записать

Итак, напряженность эффективного магнитного поля для электрона

где «штрих» означает производную по радиальной координате

Энергия взаимодействия собственного (спинового) магнитного момента электрона с эффективным магнитным полем равна

(Знак «минус» соответствует отрицательному знаку заряда электрона.)

Поправка Томаса представляет собой релятивистский член уменьшающий энергию взаимодействия (26.4) вдвое. Этот вывод подтверждает и последовательно релятивистская теория Дирака.

Окончательно примем следующее выражение для энергии спин-орбитального взаимодействия:

Полный гамильтониан электрона, движущегося в центрально-симметричном электрическом поле, запишется в виде

Положим

где собственный (спиновый) механический момент электрона в единицах Тогда (26.6) примет вид

Оператор полного момента. Определим

Коммутационные свойства введенных операторов:

Из соотношений следует:

Отсюда ясно, что оператор обладает свойствами вектора момента импульса. Из соотношений (26.13) следует:

Поскольку все эти величины, очевидно, коммутируют с невозмущенным гамильтонианом достаточно доказать, что они коммутируют с тем самым будет доказана их перестановочность и с полным гамильтонианом Итак, докажем перестановочность с например для компоненты оператора

Доказательство.

Согласно (26.15)

имеем также соотношения

причем

Отсюда

Состояние атома. Будем характеризовать состояние атома, диагонализировав предварительно следующие коммутирующие друг с другом величины:

где указаны диагональные элементы (собственные значения):

Полный гамильтониан , вообще говоря, не приводится при этом к диагональному виду, так как не коммутирует с или с Однако величина коммутирует с

так что объединяет состояния с одинаковым магнитным квантовым числом и различными значениями

Существуют два типа таких состояний: Собственные значения:

Собственные функции: (26.24)

Из формул (18.17), (18.18) и из лекции 25 следует, что

Кроме того,

Отсюда

где величина целое число; далее

находим:

так что в выбранном представлении матрица принимает вид

Отсюда следуют

Собственные значения оператора и соответствующие (нормированные) собственные функции:

Из выражений (26.20)-(26.32) находим

Собственные значения оператора

Спин либо параллелен либо — векторная модель; тогда

Собственные функции для этого случая уже даны в (26.31).

Спин антипараллелен

Соответствующие собственные функции уже даны в (26.32).

Дублетное расщепление энергетических уровней. Последний член гамильтониана (26.8)

можно рассматривать как возмущение, сдвигающее энергетические уровни; величину этого сдвига дает теория возмущений:

Здесь обычно положительна; через обозначена радиальная волновая функция.

Дублетный спектр. Типичным примером таких спектров могут служить спектры атомов щелочных металлов (рис. 20).

Рис. 20

Уровни атома водорода при Из лекции 8 без учета спина находим:

Таким образом, получается всего одна линия (вырождение).

Рис. 21. Расщепление уровней при различных ориентациях спина (нерелятивистская теория)

Расщепление вследствие различных ориентации, спина. Если потенциал V в (26.36) взять в форме а в качестве радиальных волновых функций функции (8.20),

то изменения собственных значений энергии за счет спин-орбитального взаимодействия будут равны

Релятивистский расчет возмущения. Результаты (26.37) являются нерелятивистскими. Отыщем релятивистскую поправку к энергии

уровней. Так как кинетическая энергия равна

то возмущающий гамильтониан следует взять в виде

При таком подходе полностью игнорируется существование спина электрона.

В первом порядке теории возмущений

Вместе оба рассмотренных эффекта приводят к поправкам

(Общие формулы см. у Шиффа, стр. 368, 369.)

Отметим, что первые две поправки совпали, т.е. соответствующие уровни не разошлись! Общая картина для уровней когда присутствует возмущение а затем и возмущение дана на рис. 22.

Картина расщепления уровней при учете спин-орбитального взаимодействия, спин-орбитального взаимодействия и релятивистской поправки к нему, спин-орбитального взаимодействия с релятивистской поправкой и сдвигом Лэмба.

На том же рис. 22 изображено дальнейшее (и окончательное) снятие вырождения уровней носящее название лэмбовского сдвига.

Впервые этот эффект измерили Лэмб и Ризерфорд в 1947 г. Лэмбовский сдвиг — это относительный сдвиг и -уровней водородо-подобных атомов, предсказанный и теоретически рассчитанный Бете в

Рис. 22. Картина расщепления уровней при учете спин-орбитального взаимодействия, спин-орбитального взаимодействия и релятивистской поправки к нему, спин-орбитального взаимодействия с релятивистской поправкой и сдвигом Лэмба

том же 1947 г. По идее Бете (и Крамерса) лэмбовский сдвиг представляет собой изменение энергии электрона за счет его взаимодействия с полем излучения (вакуумом фотонов, приводящим к перенормировке собственной энергии, различной для разных состояний, если говорить в терминах квантовой теории поля). Теория и эксперимент дают в хорошем согласии друг с другом численное значение лэмбовского сдвига около для водорода.

Формула Бете для лэмбовского сдвига -уровней: