Лекция 3. Простейшие одномерные задачи

Рассмотрим несколько частных случаев применения уравнения Шредингера, не зависящего от времени,

а. Замкнутая линия. Обозначим ее длину через а; пусть потенциальная энергия Частные решения (3.1) суть

Условие периодичности требует, чтобы функция и имела вид

где I принимает любые целочисленные значения (положительные, отрицательные и нуль). Сравнивая это выражение с решением (3.2), легко определить Е:

Мы пришли к важному заключению. Значения энергии оказываются квантованными уже в этом простейшем случае! Нормированные функции имеют при этом вид

б. Вращение вокруг фиксированной оси. Чтобы перейти к этому случаю, достаточно в предыдущем решении произвести замену

тогда формулы (3.3) и (3.4) примут вид

в. Потенциальный барьер бесконечной высоты. [Граничное условие вида при при (рис. 1)] Чтобы найти решение при мы сначала положим, что потенциальная энергия конечна и равна при Получим:

(решение с положительным знаком показателя экспоненты мы отбросили, так как при оно расходится быстрее, чем это допустимо). Теперь устремим в точке к бесконечности. На границе барьера

Отсюда ясно, что на границе следует принять

г. Потенциальная яма с бесконечно высокими стенками (движение в сегменте Потенциальная энергия внутри сегмента и становится бесконечно большой на его концах. Следовательно, граничные условия для функции имеют вид Общее решение уравнения

в этом случае можно представить как

Рис. 1

Граничное условие исключает решение с косинусом; таким образом, в нашем случае остается

Граничное условие дает:

где любое положительное целое число. Следовательно,

Здесь нормировочный множитель.

д. Точка на бесконечной линии

Решение этого уравнения имеет вид

Это решение ни при каком знаке в экспоненте не может быть обычным образом нормировано! Существуют две возможности обойти это затруднение:

1. Рассмотреть решение (3.9) как предельный случай задачи

Энергетические уровни при этом квазинепрерывны. Действительно (рис. 2), число уровней в интервале можно найти следующим образом: расстояние (интервал энергий) между двумя

Рис. 2. Энергетические уровни (для квазинепрерывного случая)

соседними уровнями составляет

так что число уровней в интервале равно

(множитель 2 вводится для учета того, что I может принимать как положительные, так и отрицательные значения). В предельном случае а мы имеем непрерывный спектр, допускающий все значения

Замечание. К этому же результату приводит предельный переход а в случае

Рис. 3. «Волновой пакет» Для функции

2. Альтернативная возможность: пусть резких дискретных энергетических уровней нет, но вместо них имеются «размазанные» уровни, соответствующие «размазыванию» волновой функции по интервалу вокруг точки т.е. функция и представляется в форме «волнового пакета» (рис. 3):

Такое решение уже может быть нормировано при весьма малых Тогда оно соответствует почти определенным значениям энергии. Обсуждение этого вопроса будет продолжено при рассмотрении принципа неопределенности.