17-3. ВЛИЯНИЕ КОРРЕКТИРУЮЩИХ ЦЕПЕЙ НА АВТОКОЛЕБАНИЯ И НА ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Проведенный анализ нелинейных систем второго порядка с релейными элементами показал их практически полную непригодность без корректирующей цепей. Даже в том случае, когда автоколебания малы по амплитуде или вовсе отсутствуют, переходный процесс в системах носит ярко выраженный колебательный характер (рис. 17-7).

Применение корректирующих цепей коренным образом меняет свойства релейных систем.

Корректирующие цепи, позволяют резко понизить амплитуду автоколебаний и поднять частоту или вовсе подавить их при малой зоне нечувствительности релейной характеристики. Так можно получить приемлемые переходные процессы. Нелинейные же корректирующие цепи позволяют получить оптимальные переходные процессы с минимальным временем регулирования. На приведенных примерах систем и их уравнений рассмотрим влияние корректирующих цепей на динамические свойства нелинейных систем.

а) Влияние корректирующих цепей на автоколебания и устойчивость

Рассмотрим следящую систему с тахогенератором, структура которой приведена на рис. 16-13,а. Поведение системы описывается уравнением (16-17) при которое в нормированной форме (17-33) примет вид:

Здесь безразмерная порция сигнала тахогенератора.

К (17-69) приводится уравнение системы стабилизации температуры <рис. 16-18 и 16-19); при этом

Возьмем релейную характеристику с зоной нечувствительности и зонами неоднозначности (табл. 16-2, поз. 4). У этой характеристики зону нечувствительности обозначим а; величину положим равной где коэффициент возврата реле, меньший единицы. При характеристика поз. 4 превращается в характеристику поз. 2 (табл. 16-2). Релейная функция в (17-69) по-прежнему принимает три постоянных значения: и —1. Поэтому (17-69) записывается также в виде двух уравнений (17-34). Следовательно, для данного случая справедливы законы изменения координат (17-35) и (17-36) и выражение для фазовых траекторий (17-38). Моменты отключения и включения реле определяются величиной и знаком аргумента релейной функции:

Рассмотрим случаи нарастания сигнала когда 0, и спадания сигнала, когда 0.

Случай Реле отключится при

и вкйючится вновь при

В промежутке реле отключено и

Случай Реле отключится при

и выключится вновь при

В промежутке реле отключено

Полагая неравенства (17-71) равенствами, получаем уравнения:

полупрямой отключения в верхней полуплоскости

полупрямой включения в верхней полуплоскости

полупрямой отключения в нижней полуплоскости

Рис. 17-24. Положение линий переключения при наличии корректирующего сигнала.

и, наконец, полупрямой включения в нижней полуплоскости

Линии переключения (отключения и включения) в соответствии с уравнениями (17-72) приведены на рис. 17-24.

Корректирующий сигнал привел к наклону влево против часовой стрелки линий переключения. Это значит, что переключения происходят раньше, чем отклонение х достигнет зоны нечувствительности. Налицо, таким образом, эффект, обратный запаздыванию в переключении, которое приводило к автоколебаниям. Этот эффект упреждающего переключения приводит к снижению амплитуд и повышению частот автоколебаний, а при наличии зоны нечувствительности и к полному их подавлению. Напомним, что запаздывание в переключении происходит вследствие постоянного временного запаздывания, а также в результате зоны неоднозначности в характеристиках реле.

Для исследования рассматриваемой системы найдем преобразование полупрямой отключения в полупрямую отключения (рис. 17-24). Преобразование состоит из двух последовательных преобразований: -преобразования линии отключения в линию включения и преобразования линии в линию

Преобразование

Преобразование

Исключая из формул преобразований переменные получаем искомое преобразование

При получаем формулу преобразования (17-40). Характерный параметр автоколебаний — амплитуда скорости вычисляется по формуле (17-73) при

Рассмотрим влияние корректирующего сигнала на амплитуду и частоту автоколебаний для случая когда (17-74) записывается в виде:

Отсюда видно, что увеличение всегда приводит к снижению амплитуды автоколебаний, а следовательно, в соответствии с (17-46) — к росту частоты.

Исследование преобразования (17-74) показывает, что решение (если оно существует) дает одно значение соответствующее устойчивому режиму автоколебаний. Условия устойчивости или отсутствия автоколебаний можно определить из условия существования так называемого полуустойчивого цикла. Полуустойчивый цикл проходит по границам зоны нечувствительности (рис. 17-25). При начальном

Рис. 17-25. Фазовйе траектории при наличии полуустойчивого цикла.

положении изображающей точки вне полуустойчивого цикла фазовая траектория навивается снаружи на этот цикл, как и на всякий устойчивый. При начальном положении внутри цикла фазовая траектория стремится к отрезку покоя. Система с полуустойчивым циклом является граничной между устойчивой и автоколебательной системами. Поэтому, выразив полуустойчивый цикл через параметры системы, можно тем самым построить границы областей устойчивости в пространстве параметров.

Для полуустойчивого цикла поэтому для определения амплитуды можно воспользоваться преобразованием при :

откуда

Автоколебания невозможны, если или меньше так как изображающая точка в этом случае оказывается на отрезке покоя. Подставляя поэтому значение из (17-76) в (17-74), находим границу области устойчивости в плоскости параметров а и К при

На рис. 17-26 построены границы областей устойчивости. Кривые со стороны области устойчивости заштрихованы.

Рис. 17-26. Границы областей устойчивости при различных порциях корректирующего сигнала.

В качестве второго примера рассмотрим следящую систему с двигателем, управляемым со стороны обмотки возбуждения (рис. 16-16).

Структурная схема приведена на рис. 16-17. В этой схеме два фактора способствуют подавлению автоколебаний: сухое трение и корректирующий сигнал тахогенератора. В нормированной форме (введено уравнение системы (16-19) при принимает вид:

где (иначе невозможно движение). Слагаемое в отдельных областях фазовой плоскости — постоянная величина. Обозначив это слагаемое х, приходим к (17-62) и к уравнениям фазовых траекторий (17-63). Проанализируем раздельно влияние сухого трения и корректирующего сигнала. Влияние сухого трения . В этом случае х принимает на фазовой плоскости при релейной характеристике с зоной нечувствительности а следующие значения:

Таким образом, фазовая плоскость разбивается на шесть»

Рис. 17-27. К выяснению влияния сухого трения на автоколебания.

областей различных значений х (рис. 17-27). Во всех шести областях фазовые траектории — параболы. Параболы сшиваются на границах шести участников фазовой плоскости. Изучение системы проводится на основе исследования преобразования полупрямой в полупрямую Поскольку момент сухого - трения всегда направлен против движения, всегда спираль фазовой траектории будет свертываться и система будет устойчивой. Если учесть запаздывание реле или зону неоднозначности, то в описанной системе будут возможны автоколебания.

Влияние корректирующего сигнала Возьмем реле без зоны нечувствительности (табл. 16-2, поз. 1) с постоянным запаздыванием Тогда в уравнении фазовых траекторий (17-63)

При этом

и

Отсюда уравнение линии переключения:

Для исследования динамики системы возьмем преобразование верхней полупрямой переключения в нижнюю (рис. 17-28).

Рис. 17-28. К выяснению влияния корректирующего сигнала на автоколебания.

Преобразование состоит из преобразования (точки и преобразования (точки ).

Преобразование

Преобразование.

Исключая получаем искомое преобразование

При автоколебательном режим

и тогда

Функции точечных преобразований

и

возрастают с ростом своих аргументов; при этом следовательно, кривые функций могут пересекаться. Найдем производные функций точечных преобразований:

Рис. 17-29. Функции точечного преобразования при различных соотношениях между запаздыванием и порцией 5 корректирующего сигнала.

Отсюда видно, что при всюду а поскольку в этом случае кривые пересекаются. Следовательно, при в системе будет устойчивый автоколебательный режим.

Для анализа процесса движения в области, близкой к предельному циклу, составим разностное уравнение

Отсюда разностное уравнение первого приближения

где

При малых (но больших ) корень разностного уравнения

положителен и меньше единицы, значит величина сходится к монотонно.

При больших корень по модулю оставаясь меньше 1, становится отрицательным. Это означает, что процесс сходимости илив процесс убывания будет колебательным.

Рассмотрим другие соотношение между Если или то система неустойчива. Предельного цикла нет, и колебания нарастают безгранично. При и система устойчива и предельного цикла нет. Кривые функций точечного преобразования для различных приведены на рис. 17-29.