§ 14.10. Другие доказательства теорем об энергии.
Доказательства теорем об энергии, которые мы дали в §§ 14.6 и 14.7, могут быть проведены и в лагранжевых координатах. Дадим их для некоторых из теорем. Будем предполагать, что все 
в формуле (14.8.1) равны нулю. При этом условии 
является однородной квадратичной функцией от 
и
Уравнение Лагранжа в теории удара записывается в виде
1) Для доказательства теоремы о суперпозиции (§ 14.6) будем исходить из равенств
где 
скорость, сообщаемая импульсом 
скорость, сообщаемая импульсом 
Следовательно, 
и скорость, сообщаемая импульсом 
равна
Полученный результат эквивалентен теореме § 14.6, так как 
линейные и однородные функции от 
Если, в частности, система первоначально находилась в покое, то суперпозиция импульсов влечет за собой суперпозицию скоростей.
2) Если система, находившаяся первоначально в покое, приводится в движение заданной системой импульсов, то в силу (14.10.3) кинетическая энергия ее имеет выражение
или выражение (14.7.5), так как скалярное произведение 
представляет собой инвариант.
3) Если в момент приложения импульсов система находится в движении, то
С другой стороны,
(Этот результат еще понадобится нам позже.) Учитывая (14.10.10), получаем
что эквивалентно (14.7.4).
4) Для доказательства теоремы Бертрана предположим, что составляющие обобщенного импульса 
равны нулю при 
и что во втором опыте связи имеют вид 
при 
Для первого опыта
а для второго опыта
(штрихом обозначены величины, относящиеся ко второму опыту). Имеем
Второе и третье слагаемые правой части равны нулю: второе в силу того, что 
при 
и 
при 
а третье в силу равенства (14.10.10). В результате получаем
5) Чтобы доказать теорему Кельвина, будем считать величины 
заданными при 
а величины 
равными нулю при 
Если отнести 
к любому другому движению, возможному при заданных значениях 
то можно будет написать t
при 
при 
а третье в силу равенства (14.10.10). В результате получаем
