Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
3. Теорема Чебышева.Докажем еще одну теорему, являющуюся обобщением теоремы Чебышева. Будем опять предполагать, что мы рассматриваем линейное нормированное пространство
и его подпространство
функций
Тогда теорема Чебышева может быть сформулирована следующим образом: Для того чтобы функция Докажем сначала необходимость условий. Пусть
Выберем на отрезке
2) в точках 3) на каждом из отрезков Тогда найдется такое положительное значение
и, кроме того,
На интервале
На интервале
где
Если
Если же По точкам построим обобщенный многочлен
Коэффициентами при этого многочлена являются миноры
В силу второго свойства систем Чебышева, использованного при доказательстве теоремы Хаара, по крайней мере один из них отличен от нуля. Следовательно, Наш обобщенный многочлен обращается в нуль в точках
Если мы будем изменять значения
то
будет сохранять постоянный знак. Таким образом, как бы мы ни выбирали значения
определитель
всегда имеет один и тот же знак. Положим Тогда
для значений
для
для
где
и на интервале
Далее, так как на отрезке
а
то при
На интервале Поэтому знак
Найдем тогда такой обобщенный многочлен
так как в противном случае мы умножили бы
Тем самым мы показали, что Докажем теперь достаточность. Пусть для
Первая квадратная скобка справа принимает в некоторых точках
поочередно значения
должен обращаться в нуль на 1. Пусть
что разность
принимает в них значения с чередующимися знаками. Тогда если
Для доказательства достаточно предположить обратное и рассмотреть разность между многочленом Это замечание позволяет дать оценку величины
то
2. При доказательстве теоремы Хаара и обобщенной теоремы Чебышева мы считали, что все функции определены на некотором отрезке
|
1 |
Оглавление
|