8.4.2. Пример применения к системе двух связанных контуров.

Применив к простому колебательному контуру методы операционного исчисления и получив таким образом известные результаты (которые, впрочем, легко иайти и другим способом), мы рассмотрим один пример. Покажем, что применение к решению этого примера классических методов приводит к гораздо более сложным вычислениям, чем применение операционного исчисления, где расчеты делаются почти автоматически, так как различные граничные условия оказываются с самого начала включенными в вычисления.

Рис. 8.40.

Дана цепь, изображенная на рис. 8.40. Пзсть электродвижущая сила источника, внутреннее сопротивление которого равно нулю, приложенная в момент Мы хотим найти ток текущий в ветви этой цепи. Дифференциальные уравнения системы имеют вид

Пусть соответственно изображения Тогда система дифференциальных уравнений может быть записана при помощи формулы (30) (так как и формулы (31) в виде

Отсюда

Вычислим для случая, когда электродвижущая сила имеет форму импульса, изображенного на рис. 8.41:

В этом случае

Рис. 8.41.

Ток представляет тогда собой сумму двух токов:

Следовательно,

Так как

то получаем

Рис. 8.42.

Вычертим график для случая, когда ширина z импульса равна Тогда

Отсюда получаем график, изображенный на рис. 8.42, если считать

Рассмотрим случай, когда Тогда в формуле, дающей синус исчезает при так как выражение для принимает

вид

и мы получаем график, изображенный на рис. 8.43.

Рис. 8.43.

Рис. 8.44.

Величины представляют собой зарядный и разрядный ток емкостей.

Возьмем теперь случай, немного более сложный, когда имеет график, изображенный на рис. 8.44. Вычислим изображение этой функции. Имеем

Отсюда

Как и ранее,

где

Отсюда

Если взять положив

График тока изображен на рис. 8.45.

Примечание. Вычисления в пп. 8.4.1 и 8.4.2 были выполнены с помощью разложения рациональных дробей на простейшие, а не с помощью формулы обращения. Дело в том, что рациональные дроби (п. 8.4.1) и (п. 8.4.2) не удовлетворяют условиям Жордана (показатели степеней числителя и знаменателя равны). Применение к этим дробям формулы обращения привело бы к неверному результату, так как интеграл по бесконечной полуокружности, расположенной слева от контура Бромвича, не равен в этом случае нулю.

Рис. 8.45.