8. НЕПРЕРЫВНЫЕ КАНАЛЫ

8.1. ОРТОНОРМАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СИГНАЛОВ И БЕЛЫЙ ГАУССОВ ШУМ

В этой главе рассматриваются каналы, в которых сигналы на входе и выходе являются функциями времени и время здесь определяется на континууме, а не в дискретных точках. Это сразу же приводит к необходимости рассмотрения понятия «вероятности функции». Вероятность одного события из дискретного множества событий — понятие довольно простое, и при введении функции распределения вероятностей случайной величины с непрерывным множеством значений не нужно слишком сильно пересматривать основные понятия. Конечно, можно было бы описать случайные функции (или случайные процессы, как их обычно называют) в некоторый момент времени распределением вероятности, однако в общем случае даже совместное распределение вероятностей для большого числа моментов времени было бы недостаточным для полного статистического описания процесса. В принципе случайный процесс считается полностью заданным, если имеется правило, по которому может быть вычислено совместное распределение вероятностей для любого конечного множества моментов времени. Мы не будем следовать этому подходу в настоящей главе, а рассмотрим вместо этого подход, основанный на представлении любой заданной действительной или комплексной функции с помощью разложения в ряд по ортонормальным функциям. При этом случайная функция будет описываться с помощью совместного распределения вероятностей коэффициентов такого разложения в ряд. Хотя вначале этот подход может показаться довольно абстрактным и громоздким, он окажется впоследствии более полезным как для развития интуиции, так и при доказательстве теорем по сравнению с подходом, основанным на описании поведения функций в различные моменты времени.

На протяжении этой главы мы будем иметь дело с некоторыми математическими понятиями, такими, как сходимость рядов, изменение порядка суммирования и интегрирования, и существование пределов. Связанные с ними вопросы нельзя разрешить на основе физических соображений, поскольку они относятся только к математическим моделям физических задач. В действительности, часто можно глубже проникнуть в суть физических явлений, исследуя случаи, когда математические пределы перестают существовать. Вместе с тем, если непрестанно беспокоиться о сходимости и пределах, то мы затемним

более важные вопросы и потеряем читателей, которые не имеют либо подготовки, либо склонности следовать сложным обоснованиям предельного перехода Многие из этих вопросов, касающихся сходимости, можно обойти или по крайней мере упростить, если ограничиться рассмотрением функций конечной энергии, т. е. функций для которых Эти функции часто называют функциями из Хотя они образуют достаточно общий класс функций, тем не менее отметим, что как импульсные функции, так и синусоиды бесконечной длительности не будут функциями с конечной энергией

Две функции называются ортогональными, если где функция, комплексно-сопряженная с Функция называется нормированной, если ее энергия равна 1 Ортонормальное множество определяется как множество функции каждая из которых нормирована и каждая пара которых ортогональна, таким образом, для всех из множества имеем

для в других случаях.

Предположим теперь, что функция может быть представлена через ортонормальное множество нкций в виде

В этих условиях коэффициенты удовлетворяют соотношениям

Чтобы увидеть это, нужно подставить (8 1 2) в (8.1.3) и проинтегрировать полученное выражение, учитывая (8 11)

Пусть теперь произвольная функ из и пусть определяется Следует исследовать может ли разложение

по-прежнему быть использовано для представления Пусть остаток, получающийся, когда членов разложения использованы для представления

Ести умножить обе части (8 14) на и проинтегрировагь, то можно сразу же заметить что ортогональна при всех

Энергия задается выражением

При выводе (8.1.5) была использована формула (8.1.3) и ее комплексное сопряжение

Так как энергия неотрицательна для всех то

Соотношение (8.1.7) известно как неравенство Бесселя и оно будет часто использоваться в последующем изложении.

Теперь можно исследовать предельное поведение рассматривая разность между при следует, что разность равна и имеет энергию

Неравенство Бесселя показывает, что ограничена и поэтому должна стремиться к 0, при неограниченном возрастании и Таким образом, стремится к пределу который ортогонален ко всем

Обозначение в (8.1.8) используется для предела в среднем. Под этим понимается, что это равенство не обязательно означает, что сходится к пределу для каждого значения Теперь можно представить как

Под бесконечной суммой в (8.1.9), а также на протяжении этой главы понимается предел

На геометрическом языке (8.1.9) утверждает, что функция может быть разложена на две составляющие: одну в подпространстве, порожденном и другую — ортогональную подпространству

Обычно при использовании (8.1.9) с бесконечным рядом можно обращаться как с конечным. Как правило, это можно оправдать с помощью неравенства Шварца, которое устанавливает, что для двух функций из

Для того чтобы проверить справедливость (8.1.10), положим, что

будет ортонормальным множеством, содержащим лишь один элемент. Тогда неравенство Бесселя, примененное к имеет вид

Подставляя (8.1.11) в (8.1.12), получаем (8.1.10).

Для того чтобы построить пример, показывающий, как неравенство Шварца может применяться, когда имеют дело с разложением функции х в бесконечный ряд (8.1.9), рассмотрим интеграл

Применяя неравенство Шварца к последнему интегралу в (8.1.13), получаем

Вспоминая, что рассматривается только функция с интегрируемым квадратом, находим, что предел правой части (8.1.14) при

равен 0. А тогда можно перейти к пределу в (8.1.13) и, следовательно, изменить порядок интегрирования и суммирования:

Говорят, что множество ортонормированных функций полно в классе функций, если все функции этого класса содержатся в подпространстве, порожденном или иначе, если равно нулю для всех функций класса. В этом случае ясно, что член в левой части (8.1.5) стремится к нулю с возрастанием следовательно,

если принадлежит подпространству, порожденному множеством Равенство (8.1.16) называется энергетическим уравнением и часто будет использоваться в последующем изложении.

Если принадлежит подпространству, порожденному ортонормальным множеством и если любая другая функция из то имеет место также равенство Парсеваля

где Для того чтобы вывести (8.1.17), заметим, что следовательно, (8.1.17) эквивалентно (8.1.15).

В качестве довольно частого примера множества ортонормальных функций рассмотрим

где какое-либо целое число. Тогда равенство (8.1.9) принимает вид

где

Это просто разложение функции на интервале в ряд Фурье. Это множество функций полно в классе функций с конечной энергией, определенных на интервале и, следовательно, остаточный член отвечает вне этого интервала.

Предположим, что мы хотим построить множество сигналов, которые ограничены во времени интервалом и также приближенно ограничены по частоте частотами, меньшими некоторого максимального значения Можно сделать некоторое продвижение в решении этой задачи, если рассмотреть из (8.1.18) как комплексную синусоиду частоты Так как усечена, то она не имеет ограниченную полосу частот; ее преобразование Фурье имеет вид

График функции изображен на рис. 8.1.1 и из него ясно, что имеет наибольшую энергию на частотах в окрестности Если рассматриваются функции, являющиеся линейными комбинациями где целое, то

Рис. 8.1.1. Вид функции

Этот класс функций строго ограничен во времени интервалом и в некотором смысле ограничен по частоте полосой Следовательно, произвольная комплексная функция в этом классе задается с помощью комплексных чисел. Если потребовать, чтобы была действительной, определяется действительными числами, а именно числом которое действительно, и действительными и мнимыми частями О классе функций, в котором любая функция может быть определена действительными числами, говорят, что он имеет степеней свободы и, следовательно, класс действительных функций удовлетворяющих (8.1.21), имеет степеней свободы. Заметим, что не имеет никакого смысла говорить о числе степеней свободы функций без указания вначале класса функций, к которому она принадлежит.

Если попытаться уточнить смысл, в котором функции, удовлетворяющие (8.1.21), имеют ограниченную полосу частот, то можно столкнуться с целым рядом проблем и в действительности может случиться так, что при достаточно специальном выборе наибольшая часть энергии окажется вне полосы частот В § 8.4 этот вопрос о сигнале, ограниченном во времени и по частоте, получит более удовлетворительное математическое рассмотрение на основе

использования другого множества ортонормальных функций. Однако рассматриваемое здесь приближение, использующее ограниченные во времени синусоиды, весьма полезно для более глубокого проникновения в различные проблемы техники связи; этого не следует избегать в силу недостаточной точности понятия ограниченной полосы частот.

Второе множество ортонормальных функций, которое весьма полезно в приобретении навыков понимания существа многих задач, составляют отсчетные функции

Для того чтобы увидеть, что эти функции ортонормальны, надо прежде всего установить равенство Парсеваля, связывающее преобразования Фурье. Пусть и преобразования Фурье функций х ( Тогда

Следовательно, если какое-либо множество ортонормальных функций и преобразование Фурье для каждого то также множество ортонормальных функций, удовлетворяющих

Полагая, что задается (8.1.20) и подставляя вместо вместо видим, что 0; (0 в (8.1.22) являются ортонормальными.

Используя соотношение (8.1.20), можно найти преобразование Фурье

Таким образом, мы видим, что все имеют полосу частот, ограниченную в том смысле, что их преобразования Фурье равны 0 при

Функции называются отсчетными функциями, поскольку любая функция с полосой частот, ограниченной может быть представлена через эти функции и значения в точках, отделенных интервалами

Для того чтобы вывести (8.1.26), обозначим через преобразование Фурье Так как для то она может быть разложена в ряд Фурье

Используя (8.1.25) и тот факт, что для имеем

Подставляя это выражение для в (8.1.27) и беря преобразование Фурье, получаем (8.1.26). В приведенном выше выводе предполагалось, что обладает достаточно хорошим поведением, так что обратное преобразование всюду сходится к

Теперь аналогично тому как разложение Фурье использовалось для образования сигналов, ограниченных во времени интервалом и приближенно ограниченных по полосе частот можно использовать разложение по выборочным функциям для образования сигналов с точно ограниченной полосой частот и приближенно ограниченных во времени. В этом случае следует использовать , для которых Опять получаем степеней свободы, и функция из рассматриваемого класса равна нулю во всех точках отсчета с Это представление рассматривается при тех же самых ограничениях, что и представление рядом Фурье, и на самом деле это то же самое представление, в котором, однако, роль времени играет часюга, и наоборот.