Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
6. Время как циклическая переменная; принцип Якоби; принцип наименьшего действия.Рассмотрим склерономную или «консервативную» систему с функцией Лагранжа, не зависящей явно от времени. Представим себе, что мы не используем время
Время здесь является циклической координатой, поскольку в подинтегральное выражение входит только Воспользуемся теоремой о том, что импульс, соответствующий циклической координате, остается при движении постоянным. Вначале рассмотрим
Выражение в последних круглых скобках в точности совпадает с тем выражением, которое встречалось уже раньше при обсуждении закона сохранения энергии. Мы назвали это выражение полной энергией и обозначили через
что является новым выводом теоремы о сохранении энергии. Можно, однако, сделать нечто большее. Мы знаем, что циклическую переменную можно исключить, уменьшив на единицу число степеней свободы исходной вариационной задачи. В данном случае мы можем исключить из вариационной задачи Согласно общему методу, сначала видоизменим функцию Лагранжа. В данном случае мы должны написать
что приводит к новому интегралу действия
Учитывая (5.3.15), можно переписать А в виде
В литературе восемнадцатого века этот интеграл часто появлялся в форме
но Якоби указал на то, что эта форма неудовлетворительна, потому что время Используем теперь символическое понятие С-точки, изображающей механическую систему в пространстве конфигураций. Мы уже знаем, что кинетическую энергию системы можно рассматривать как кинетическую энергию одной частицы с единичной массой
где
Выражая отсюда
Более того, в подинтегралъном выражении в (5.6.6) можно положить
в результате чего (5.6.6) будет иметь вид
Мы закончили таким образом исключение переменной Принцип минимизации, примененный к интегралу (5.6.12) с целью нахождения пути механической системы, называется «принципом Якоби». Время не входит в его формулировку. Он определяет траекторию С-точки в пространстве конфигураций, а не движение во времени. Однако это последнее легко найти путем интегрирования уравнения (5.6.10), что дает Принцип Якоби является фундаментальным принципом механики. Если ограничиться случаем одной частицы, то линейный элемент
где Аналогия между принципом Якоби, с одной стороны, и принципом Ферма — с другой, касается лишь пути, описываемого движущейся точкой в механике и лучом света в оптике. Протекание процесса во времени в механическом и в оптическом случаях совершенно различно (см. гл. VIII, п. 7). Якоби раскритиковал рассуждения Лагранжа, касающиеся «принципа наименьшего действия», указав на важность того обстоятельства, что варьирование происходит при определенных граничных значениях; последнее невозможно, если в качестве аргумента выбрано время. В этом случае верхний предел интеграла действия должен варьироваться определенным образом с тем, чтобы обеспечить сохранение энергии вдоль истинного и варьированного путей. Тем не менее если соответствующим образом понять формулировку принципа наименьшего действия, данную Эйлером и Лагранжем, то окажется, что их выкладки совершенно правильны, а их принцип отличается от принципа Якоби лишь формально. Как мы видели, принцип Якоби представляет собой результат следующих операций. 1. В кинетической энергии дифференцирование по времени
2. После исключения
минимизируется интеграл действия
В качестве «действия» Эйлер и Лагранж использовали тот же самый интеграл, который является основой принципа Якоби — разница заключалась только в параметре
В данной конкретной задаче неопределенный множитель Лагранжа можно легко вычислить. Так как
откуда
В результате интеграл принимает вид
Поскольку новая вариационная задача является свободной, без каких бы то ни было дополнительных условий, нет причин, препятствующих использованию
возвращающий нас к принципу Гамильтона. Этот вывод объясняет, как Лагранж получил свои уравнения движения, являющиеся прямым следствием принципа Гамильтона, исходя из совершенно иного принципа, «принципа наименьшего действия». Резюме. При параметрическом задании движения время является дополнительной координатой, которая может принять участие в процессе варьирования. Импульс, соответствующий временной координате, является полной энергией, взятой с обратным знаком. Для склерономных систем время становится циклической координатой, а соответствующий импульс — константой. Это приводит к теореме сохранения энергии для консервативных систем. Исключение времени как циклической координаты позволяет сформулировать новый принцип, определяющий лишь путь механической системы, а не ее движение во времени. Это — принцип Якоби, аналогичный принципу Ферма в оптике. Этот же принцип может быть сформулирован как «принцип наименьшего действия». В последнем случае интеграл по времени от удвоенной кинетической энергии минимизируется с дополнительным условием, что при движении и вдоль истинного, и вдоль проварьированного пути должна выполняться теорема о сохранении энергии. Если этот принцип рассматривать с помощью метода неопределенных множителей, то в качестве результирующих уравнений получаются уравнения движения Лагранжа.
|
1 |
Оглавление
|