§ 5. Некоторые часто применяемые преобразования с бесконечными пределами

Формулы (64), (65) и формулы гл. XXXII позволяют получить ряд широко употребляемых интегральных преобразований.

1°. Синус-преобразование и косинус-преобразование Фурье. Пусть интервал изменения переменной преобразования и Доопределим в интервале одним из соотношений или В первом случае, ввиду нечетности

Поэтому, ввиду (64), если выполнить интегральное преобразование функции с ядром — и весовой функцией

т. е. перейти к величинам

то обратным будет преобразование

Аналогично во втором случае, т. е. при четном доопределении найдем, что для преобразования

обратным будет преобразование

Преобразования (66) и (68) называют соответственно синус-преобразованием и косинус-преобразованием Фурье. Правая часть (67) при равна а правая часть (69) равна

2°. Преобразование Фурье. Если интервал изменения переменной преобразования то, ввиду (65), для преобразования Фурье

обратным будет преобразование

Как упоминалось выше, преобразование Фурье (70) эквивалентно преобразованию с двумя вещественными ядрами, что очевидно из (64).

3°. Преобразование Лапласа. Пусть интервал изменения переменной преобразования есть Рассмотрим функцию где — положительное число, и доопределим ее при положив при Функция доопределенная указанным образом, при достаточно больших принадлежит классу даже тогда, когда функция растет экспоненциально при Подставив в (65) вместо и умножив обе части равенства на придем

к соотношению

Введя подстановку откуда получим формулу Лапласа — Меллина

Поэтому, если

то

Интегральное преобразование (73) называют преобразованием Лапласа, а обратное ему преобразование (74) — формулой обращения Меллина.

Ядра преобразований удовлетворяют уравнению -отсюда ясно, что они могут быть применены для исключения дифференциальных операций к дифференциальным выражениям вида Однако область применения преобразований Фурье и Лапласа шире, поскольку показательная функция где не зависит от удовлетворяет также дифференциальному уравнению

Если коэффициенты не зависят от то правая часть этого уравнения имеет вид произведения и на число и, следовательно, интегральное преобразование с ядром, являющимся показательной функцией, может быть применено к дифференциальным выражениям вида с постоянными коэффициентами. Это используется в операционном исчислении. Преобразование Лапласа можно использовать также для исключения дифференцирования по переменной в уравнении параболического типа вида (21). Действительно, ядро преобразования Лапласа удовлетворяет уравнению (23). Следовательно, с помощью преобразования Лапласа уравнение (21) преобразуется к виду (26). Если решение и задачи, поставленной для уравнения (21), имеет

при не выше, чем экспоненциальный порядок роста по то при надлежащем выборе

и преобразованное уравнение (26) примет вид

4°. Преобразование Меллина. Предположим, что функция в (72) равна нулю при Произведя в формуле (72) подстановки

и опустив после проведения подстановок значки над символами, получим формулу Меллина:

Она справедлива, если число выбрано так, что

Укажем еще, для простоты без доказательства, удобное достаточное условие, при котором справедлива формула Меллина: существуют числа такие, что при интеграл а функция аналитична и при равномерно стремится к нулю.

В силу (76), при условии (77) из

следует, что

Интегральное преобразование (78) называют преобразованием Меллина. Оно может быть использовано для исключения из дифференциального уравнения выражений вида:

5°. Интегральное преобразование с ядром

Из разложения (101) предыдущей главы следует, что при условии

существует интегральное преобразование

обратным для которого является преобразование

Отметим, что множитель под знаком интеграла в правой части (82) появился потому, что за переменную интегрирования выбрана величина а не

6°. Преобразование Ханкеля следует из интегральной формулы Ханкеля

вывод которой для функций удовлетворяющих условию

содержится в п. 4 § 10 предыдущей главы для фактически формула (83) справедлива для Положив

в силу (83), получим

Интегральное преобразование (84) по переменной, изменяющейся в интервале называют преобразованием Ханкеля.