§ 6. Формула Пуассона. Решение задачи Дирихле для шара

Пусть произвольная переменная точка, — функция, гармоническая в шаре определенном уравнением точка внутри шара точка, гармонически сопряженная с точкой х (§ 3). Введем обозначения:

Функции и являются фундаментальными решениями уравнения Лапласа с особыми точками соответственно внутри и вне шара . Следовательно, применив основную формулу (44), получим:

приняв во внимание, что и что

когда для точек получим:

или

Умножив соотношение (47) на величину и сложив его с соотношением (48), в силу формулы (49), получим

Так как радиус шаровой поверхности равен единице, то координаты точки численно равны направляющим косинусам внешней нормали к поверхности в точке Поэтому

Приняв во внимание соотношение (49), получим:

в силу чего

Подставив это выражение в формулу (50), получим формулу Пуассона

определяющую значения гармонической функции и в точках внутри шара по значениям этой функции на его поверхности.

Подставив в формулу Пуассона вместо и произвольную непрерывную функцию точки поверхности шара получим некоторую функцию

Покажем, что эта функция является решением задачи Дирихле:

Доказательство разобьем на два этапа: сначала докажем, что внутри шара функция и гармонична, а затем докажем, что при -функция

Рассмотрим подынтегральное выражение

Если точка лежит внутри шара, оно непрерывно и ограничено, когда Поэтому при можно изменять порядок интегрирования по и дифференцирования по координатам точки х. Так как подынтегральное выражение, как функция точки х, при имеет непрерывные вторые производные и удовлетворяет уравнению Лапласа (в чем можно убедиться непосредственной подстановкой его в уравнение), то при интеграл (52) представляет гармоническую функцию.

Докажем теперь, что на поверхности интеграл (52) принимает те же значения, что и функция

Рассмотрим некоторую конечную область, заключающую поверхность внутри себя. В этой области и на ее границе функция гармонична. Поэтому к ней может быть применена формула Пуассона, что даст

Составим разность

где произвольная точка поверхности Выделим на поверхности , определяемой уравнением небольшую часть а, лежащую внутри шара радиуса с центром в точке у, и

рассмотрим интегралы

Легко найдем, что

где верхняя граница разности при В силу непрерывности функции радиус всегда можно выбрать настолько малым, чтобы было

где — произвольное положительное число. Так как функция непрерывна, то она ограничена на . Поэтому существует такое число что при Вследствие этого, для интеграла получим оценку

где верхняя граница выражения на . Каков бы ни был радиус , точку можно настолько приблизить к точке у, что разность будет в неограниченное число раз меньше , тогда как расстояние при а будет одного порядка с Поэтому при любом , взяв точку х достаточно близко к точке у, можно добиться, чтобы было

Отсюда следует, что при достаточной близости точки х к точке

В силу произвольности числа заключим, что когда точка х, оставаясь внутри шара стремится к точке у на его поверхности, то и что и утверждалось.

Заметим, что нам удалось построить решение внутренней задачи Дирихле для шара при произвольном непрерывном граничном условии. Тем самым мы доказали и существование этого решения.

Полученный результат путем линейного преобразования координат обобщается на задачу Дирихле, поставленную для произвольного шара.

ЗАДАЧИ

(см. скан)