7.7. Лемма Лоренца. Теоремы взаимности

Лемма Лоренца устанавливает связь между электромагнитным полем созданным системой электрических и магнитных сторонних токов и полем созданным токами в линейной изотропной среда. Лемма Лоренца выявляет важные общие соотношения, которые лежат в основе теорем взаимности и, кроме того, позволяет решать задачи о возбуждении поля токами сложной конфигурации по известным полям элементарного источника.

Запишем симметричные уравнения Максвелла для двух полей, источники которых в общем случае не совпадают в пространстве:

Образуем линейную комбинацию этих уравнений где означает, что второе соотношение (7.41) умножено скалярно почленно на вектор Для преобразования левых частей уравнений применим тождество В результате получаем лемму Лоренца в дифференциальной форме:

Взяв интеграл по произвольному объему V и применив к левой части этого равенства теорему Остроградского-Гаусса [ф-ла (2.8)], получим лемму Лоренца в интегральной форме:

Распространим интегрирование в на бесконечно расширяющийся сферический объем Если условия теоремы единственности удовлетворены, то интеграл по поверхности в пределе исчезает. При этом

В соответствии с теоремой единственности источники полей «1» и «2» заключены в конечных объемах Поэтому объемные интегралы по всему пространству естественно сводятся к интегралам по соответствующим объемам:

Теорема взаимности. Если среда линейна и изотропна, передача электромагнитных волн между двумя произвольными точками взаимна, т. е. одинакова при противоположных направлениях распространения волн, когда передатчик и приемник меняются местами.

Рис. 7.21

Покажем справедливость этого положения на примере двух элементарных электрических излучателей, произвольно расположенных в точках (рис. 7.21). Для наглядности будем считать, что проводится два опыта:

1. Излучатель А возбужден током В точке В измеряется напряжение возникающее между концами проводника, который является в данном счае приемной антенной.

2. Излучатель В возбужден током Измеряется напряжение возникающее на приемной антенне А.

В этих двух опытах передатчик и приемник меняются местами, а расположение и длина антенн остаются неизменными. Лемма Лоренца (7.44) в данном случае перепишется в виде

где объемы, занимаемые излучателями Так как все размеры этих объемов малы по сравнению с расстоянием между ними, поле созданное противоположным излучателем

в указанных пределах, неизменно, поэтому

Интегралы в аналогичны выражению (7.8) и равны моментам тока излучателей, тогда

Заменим скалярные произведения напряжениями между концами антенн и запишем полученное соотношение в виде:

Отношение напряжения на приемной антенне к току на передающей одинаково при любом направлении передачи. В частности, при принимаемые напряжения равны:

Теоремой взаимности формулируется один из фундаментальных законов электродинамики. Все формы леммы Лоренца (7.42), (7.43) и (7.44) также представляют собой формулировки теоремы взаимности. Из и (7.46) следуют аналогичные формулы для магнитных излучателей и для пары: электрический излучатель — магнитный излучатель.

ЗАДАЧИ

(см. скан)