§ 177. Эллиптический параболоид

Поверхность, представляемая уравнением

называется эллиптическим параболоидом (рис. 195).

Сечения плоскостями и (главные сечения) — параболы

обе обращены вогнутостью в одну сторону («вверх»).

Плоскость касается параболоида в точке О, плоскости при пересекают параболоид по подобным между собой эллипсам

с полуосями При эти плоскости не встречают параболоида.

Эллиптический параболоид не имеет центра симметрии; он симметричен относительно плоскостей и и относительно оси Прямая называется осью эллиптического параболоида, точка О — его вершиной, величины параметрами.

При параболы (2) и (3) становятся равными, эллипсы (4) обращаются в окружности и параболоид (1) становится поверхностью, порождаемой вращением параболы около ее оси (параболоид вращения).

Эллиптический параболоид ыожно определить как поверхность, получаемую равномерным сжатием параболоида вращения к одному из его меридианов.

Пример. Поверхность есть параболоид вращения, образованный вращением параболы около ее оси (ось Поверхность есть тот же параболоид, иначе расположенный (ось вращения совпадает с

Замечание. В сечении эллиптического параболоида плоскостью получаем линию это — парабола, равная параболе

Рис. 195

(§ 50); ось ее тоже направлена «вверх», а вершиной является точка Координаты точки удовлетворяют уравнениям лежит на параболе Значит, эллиптический параболоид есть поверхность, порождаемая параллельным переносом параболы при котором ее вершина движется по другой параболе При этом плоскости подвижной и неподвижной парабол перпендикулярны, а оси равнонаправлены.