§ 311. Интеграл от биномиального дифференциала

Биномиальным дифференциаломназывается выражение

где рациональные числа; постоянные, не равные нулю. Интеграл

выражается через элементарные функции в следующих трех случаях.

Случай целое число. Тогда интеграл подходит под тип § 310.

См. пример 2 § 310, где .

Случай дробь но — целое число. Тогда интеграл рационализируется подстановкой

(s - знаменатель дроби р).

Пример 1. .

Здесь целое число. Полагаем

Можно выразить через и подставить в (2). Но проще продифференцировать (3):

и преобразовать I с помощью формул (3) и (4) следующим образом:

где .

Случай 3. Оба числа — дробные, но их сумма целое число.

Тогда интеграл рационализируется подстановкой

(s - знаменатель дроби р).

Пример 2.

Здесь . Полагаем

Представив в виде получаем:

Рассмотренные три случая были указаны еще И. Ньютоном. Л. Эйлер, которого никто из когда-либо живших математиков не превзошел в искусстве преобразований, безуспешно искал новые случаи интегрируемости биномиального дифференциала. Он пришел к убеждению, что эти три случая единственные. Но лишь П. Л. Чебышев в 1853 г. доказал утверждение Эйлера. Д. Д. Мордухай-Болтовскойв 1926 г. доказал соответствующую теорему для интеграла вида (1) при иррациональных показателях .