§ 345. Эволюта плоской линии

Геометрическое место центров кривизны плоской линии называют эволютойлинии Формулы (III), (3) и (3а) § 344, дающие координаты центра кривизны, вместе с тем являются параметрическими уравнениями эволюты (в формулах (3) и (3а) роль параметра играют соответственно Исключив параметр, получим уравнение, связывающее координаты эволюты.

Пример 1. Найти эволюту параболы

Решение. Примем за параметр ординату Подставив в формулы (3а) § 344 выражения , получим

Это — параметрические уравнения эволюты (роль параметра играет Чтобы исключить у, представим систему (2)-(3) в виде

Обе части первого уравнения возведем в куб, а второго — в квадрат. Приравняв левые части, получим уравнение эволюты

Эволюта параболы есть полукубическая парабола (рис. 383).

Пример 2. Найти эволюту циклоиды. Решение. Из параметрических уравнений циклоиды (§ 253)

находим по формулам § 344:

Сходство уравнений (4) и (5) не случайно; если ввести новый параметр с помощью соотношения

Рис. 383

Рис. 384

то уравнения (5) преобразуются к виду

Значит, эволюта V циклоиды (рис. 384) есть циклоида, конгруэнтная с данной, но смещенная вдоль основания на половину основания и опущенная под основание на расстояние равное высоте.

Из (6) видно, что повороты производящих кругов в соответствующих точках общих циклоид отличаются на в частности, вершине одной из циклоид соответствует точка смыкания ветвей у другой.