§ 384. Область сходимости функционального ряда

Может случиться так, что при любом значении взятом в промежутке функциональный ряд сходится. Может случиться и так, что при любом значении ряд расходится. В типичном же случае функциональный ряд сходится при одних значениях и расходится при других. Совокупность значений при которых ряд сходится, называется областью сходимости функционального ряда.

В области сходимости каждому значению соответствует определенная сумма ряда, так что последняя есть функция аргумента определенная в области сходимости. Вне этой области функциональный ряд не имеет суммы.

Пример 1. Рассмотрим функциональный ряд

Его члены есть функции

определенные в промежутке Но лишь при ряд (1) сходится, а при любом другом значении ряд расходится. Действительно, дадим аргументу какое-либо значение не равное нулю. Получим числовой ряд

Отношение

имеет бесконечный предел при Следовательно (§ 378), ряд (3) при расходится. Область сходимости состоит из одной точки

Пример 2. Функциональный ряд

(его члены есть функции, определенные в промежутке ) сходится при любом значении Действительно, отношение стремится к нулю при (§ 378). Областью сходимости является весь промежуток Сумма ряда (4) есть функция, определенная в этом промежутке (эта функция равна ; ср. § 272, пример 1).

Пример 3. Найти область сходимости и выражение суммы для ряда

Решение. Запишем частичную сумму ряда (5) в виде

Если то при не имеет конечного предела слагаемое есть бесконечно большая величина т. е. ряд (5) расходится. При ряд тоже расходится, так как тогда

Отсюда видно, что попеременно принимает значения 2 и 1.

При остальных значениях (т. е. при ) ряд (5) сходится. Действительно, если то все

члены ряда (5), кроме первого, обращаются в нуль, и мы имеем

Если же то в формуле (6) слагаемое при и при неизменном стремится к нулю, так что

Область сходимости ряда (5) есть промежуток из которого исключен конец (на рис. 401 отрезок без точки а). В этой области сумма ряда (5) есть функция определяемая следующими равенствами:

Функция разрывна при и непрерывна в остальных точках области сходимости. Вне области функция вовсе не определена. Ее график представляет отрезок (см. рис. 401), из которого удалены концы и к которому (взамен точки В) добавлена точка С.

Рис. 401