§ 414. Формулы Эйлера-Фурье

Теорема. Пусть тригонометрический ряд

сходится для всех значений к некоторой функции (эта функция — периодическая, с периодом Если для этой функции (она может быть и разрывной) существует интеграл (собственный или несобственный), то для коэффициентов ряда (1) имеют место следующие формулы Эйлера-Фурье (см. § 411):

и вообще

Замечание. Выражение для получается из общей формулы для если в последней положить Это единообразие нарушается, если через обозначить свободный член ряда (1), а не его удвоенную величину. Ср. § 411, замечание 1.

Пояснение. Мы имеем:

Проинтегрируем это равенство в пределах от до Предполагая, что данный ряд допускает почленное интегрирование, получаем:

Все интегралы правой части, кроме первого, равны нулю в силу (2) § 413, и мы находим:

Мы получили первую из формул (2) для случая остальные формулы получатся тем же способом, если предварительно умножить равенство (3) на или на

Так, умножая (3) на и интегрируя почленно, получаем:

Справа все интегралы, кроме четвертого, равны нулю в силу (2), (3) и (4) § 413. Четвертый равен в силу (6) § 413. Следовательно,

Тригонометрический ряд с произвольным периодом. Пусть тригонометрический ряд с периодом :

сходится для всех значений к некоторой функции (эта функция тоже имеет период 21). Если существует интеграл (собственный или несобственный), то для коэффициентов ряда (6) имеют место следующие формулы Эйлера-Фурье:

Формулы (2) получаются из (7) при