§ 449. Правило нахождения экстремума

Пусть функция дифференцируема в некоторой области ее задания. Чтобы найти все ее экстремумы в этой области, надо:

1. Решить систему уравнений

Решение даст критические точки.

2. Для каждой критической точки исследовать, остается ли неизменным знак разности

для всех точек достаточно близких к Если разность (2) сохраняет положительный знак, то в точке имеем минимум, если отрицательный, — то максимум. Если разность (2) не сохраняет знака, то в точке нет экстремума.

Аналогично находим экстремумы функции при большем числе аргументов.

Замечание. При двух аргументах исследование иногда упрощается применением достаточного условия § 450. При большем числе аргументов это условие усложняется. Поэтому на практике стараются использовать частные свойства данной функции.

Пример. Найти экстремумы функции

Решение.

1. Приравнивая к нулю частные производные получаем систему уравнений

Она имеет два решения:

Исследуем знак разности (2) для каждой из двух критических точек

2а. Для точки имеем:

Разность (5) не сохраняет знака, т. е. в любой близости от есть точки двух типов: для одних разность (5) положительна, для других — отрицательна. Так, если точку взять на прямой то разность (5) равна Вблизи от при эта разность отрицательна. Если же точку взять на прямой то разность (5) равна а эта величина всегда положительна.

Поскольку разность (5) не сохраняет знака, в точке экстремума нет. Поверхность

в точке (0; 0; 1) имеет вид седла (наподобие гиперболического параболоида).

2б. Для точки имеем:

Докажем, что эта разность в достаточной близости от точки (1; 1) сохраняет положительный знак. Положим:

Разность (6) преобразуется к виду

Первый член при всех ненулевых значениях положителен и притом больше чем Второй член может быть и отрицательным, но при достаточной малости он по абсолютному значению меньше чем Значит, разность (8) положительна.

Следовательно, в точке (1; 1) данная функция имеет минимум.