§ 456. Вычисление двойного интеграла (общий случай)

1. Если контур области встречается со всякой пересекающей его вертикальной прямой не более чем в двух точках ( на рис. 444), то область задается неравенствами

(a, b - крайние абсциссы области, — функции, выражающие ординаты нижней и верхней граничных линий ).

В этом случае двойной интеграл вычисляется по формуле

2. Если контур области встречается не более чем в двух точках со всякой пересекающей его горизонтальной прямой, имеем аналогично (при обозначениях рис. 445):

Рис. 444

Рис. 445

Замечание. Если контур не подходит ни под первый, ни под второй случай, то область разбивают на несколько частей на рис. 446) так, чтобы к каждой части была применима формула (2) или (3).

Пример 1. Найти интеграл если область ограничена параболами (рис. 447; контур подходит под оба случая 1 и 2).

Первое решение. Применим формулу (2); в ней надо положить Получаем:

Рис. 446

Рис. 447

Вычисляем интеграл считая постоянным:

Найденное выражение интегрируем по получаем:

Второе решение. Применим формулу (3); в ней надо положить Получаем последовательно:

Пример 2. Найти объем V «цилиндрического копыта», т. е. тела (рис. 448), отсеченного от полуцилиндра плоскостью проведенной через диаметр основания. Даны радиус основания и высота копыта

Решение. Выберем систему координат, как на рис. 448 (тогда контур подходит под оба случая 1 и 2).

Уравнение плоскости будет Имеем:

Первый способ. В формуле (2) полагаем (см. рис. 448):

Получаем:

Выполним интегрирование по у; находим:

Это выражение дает площадь сечения где находится из подобия треугольников Окончательно имеем:

т. е. цилиндрическое копыто по объему вдвое больше пирамиды

Второй способ. В формуле (3) полагаем (рис. 449): Получаем:

Первое интегрирование дает:

Рис. 448

Рис. 449

Это выражение представляет площадь сечения Окончательно имеем: