2. Вдавливание цилиндра в горизонтальную плоскость.

Рассмотрим некоторое цилиндрическое тело с плоским круглым основанием, поставленное на горизонтальную плоскую подставку. Материал цилиндра мы будем считать настолько твердым но сравнению с материалом подставки, что можно пренебречь его деформацией, когда он вдавливается некоторой силой в подставку. Для вычисления напряжений и деформации подставки мы будем считать последнюю простирающейся до бесконечности, т. е. занимающей полупространство ограниченное плоскостью (рис. 13). Проведем оси так, чтобы начало координат совпадало с центром основания цилиндра. Для того чтобы сделать нашу задачу определенной, мы предположим, что поверхность соприкосновения между цилиндром и подставкой смазана и никаких скалывающих напряжений между цилиндром и подставкой не появляется. При этих предположениях наша задача может быть сформулирована следующим образом: требуется определить упругие смещения в полупространстве , удовлетворяющие дифференциальным уравнениям:

и граничным условиям: на плоскости вне площади, занимаемой основанием цилиндра, т. е. при напряжения

Внутри круга т. е. непосредственно под цилиндром, напряжения:

Кроме того смещение в направлении оси

постоянно и равно глубине, на которую вдавливается цилиндр.

Наша задача может быть следующим образом сведена к обычной задаче теории потенциала со смешанными граничными условиями. Пусть суть потенциальные функции, удовлетворяющие уравнениям:

Будем искать в виде:

Дифференциальные уравнения (22) будут выполнены, если положить:

Этим условием определяется (когда известны так как при должно обращаться в нуль. Остается определить еще только функции так, чтобы удовлетворялись граничные условия. Сначала приравняем нулю скалывающие напряжения на граничной поверхности Последние равны

Так при они должны обращаться в нуль, то должно быть

Мы доказали пока, что эти уравнения должны выполняться при Но так как левые части являются потенциальными функциями, то они должны равняться нулю во всей области, ибо их значения на границе области равны

нулю. Уравнения (29), следовательно, выполняются во всей полупространстве. Дифференцируя их по и по у и складывая, получаем:

или, так как

откуда, интегрируя:

Постоянные интегрирования при этом отпадают, так как на бесконечности смещения вместе с их первыми производными должны обращаться в нуль. Подставляя (31) в уравнение (27), получаем:

откуда после интегрирования и простого вычисления:

значит

Мы удовлетворили условию равенства нулю скалывающих напряжений на границе. Кроме этого, во всех точках, вне поверхности, соприкасающейся с цилиндром, должно быть еще Но ведь

для того чтобы при должно, следовательно, быть

Под цилиндром же должно быть

и наша задача сводится к нахождению потенциальной функции которая на граничной поверхности удовлетворяет условиям:

Подобная граничная задача теории потенциала носит название "смешанной", так как граничные условия относятся частью к значению самой функции, а частью к значению ее нормальной производной. Эта задача совпадает с известной задачей электростатики. Представим себе бесконечно тонкую круговую пластинку радиуса а в плоскости центр которой совпадает с Началом

координат, электрически заряженную до некоторого постоянного потенциала k. Тогда электростатический потенциал вдоль пластинки равен к, а вне последней, в плоскости пластинки, удовлетворяет условию , как это явствует из соображений симметрии. Таким образом, электростатический потенциал в этом случае удовлетворяет совершенно таким же граничным условиям, как и потенциальная функция нашей задачи теории упругости, и мы можем использовать известное из электростатики решение. Так как потенциал очевидно зависит только от и от расстояния до оси то введем цилиндрические координаты и положим:

где есть некоторая функция параметра а, которую требуется определить так, чтобы удовлетворить граничным условиям.

Выражение (38) удовлетворяет дифференциальному уравнению потенциала

если удовлетворяет дифференциальному уравнению Бесселя:

есть, следовательно, бесселева функция нулевого порядка аргумента а

Граничные условия при

выполняются, если:

Это выполняется, если положить

Это следует из интегральных формул для бесселевых функций:

Искомая потенциальная функция, следовательно, дается формулой:

Для определения функций вспомним уравнения (29) и (31); из них следует, что

и, следовательно:

Как известно, производная бесселевой функции нулевого порядка равна бесселевой функции первого порядка с обратным знаком. Производя интегрирование по , получаем:

Функции дают при непосредственно компоненты смещения. Обозначая индексом О их значения при , будем иметь:

Смещения очевидно происходят в радиальном направлении. Величина радиального смещения равна

Смещение считается положительным наружу. Следует отметить, что формула эта дает нам отрицательное значение смещения, т. е. материал под поршнем стягивается внутрь, в противоположность тому, что, казалось бы, следовало ожидать.

Для величины полной силы необходимой для вдавливания цилиндра, получаем:

подставляя сюда значения из уравнения (34):

и принимая во внимание (42), получаем:

Выражая через получаем:

Наша задача решена полностью. При помощи полученных функций можно вычислить смещения и затем напряжения. Полное исследование результатов мы здесь опустим.