5. Уравнения движения в форме Гамильтона и Рауза.

Мы будем говорить, что величины определяют состояние механической системы. Из уравнений:

где определяется формулой (29), можно вычислить как функции Следовательно, мы можем определить состояние также величинами так называемыми "каноническими переменным Величины представляют собою при этом, на основании формул (17), составляющие импульсов. Таким образом, можно преобразовать уравнения движения Лагранжа в дифференциальные уравнения для Для этой цели выразим функцию, взаимную с функцией Лагранжа и определяемую формулой (37), с помощью уравнений (49) через Тогда мы получим функцию Гамильтона:

Если мы всегда будем считать функцией от функцией от то из уравнений (50) получится:

Отсюда, на основании (49) и (30), следует:

Это — "каноническая" или гамильтонова форма уравнений движения.

Если К есть однородная квадратичная функция то величины согласно (49), линейны относительно и в силу (38), принимает вид:

где суть функции Однако вывод уравнений (52) из уравнений (30) справедлив при любой зависимости от Если, например, сферические, координаты, определяемые уравнениями то из (17), (29), (49) следует:

если составляющие импульса обозначить через Если мы разобьем координат на две группы и исключим с помощью уравнений только первых скоростей соответствующих первым у. координатам, то все переменные, характеризующие состояние, можно выразить как функции от Если мы теперь введем нечто среднее между функцией Лагранжа и Гамильтона — функцию Рауза В:

и выразим ее через выбранные переменные, то получим аналогично уравнениям (51)

При этом считается функцией Теперь величины наиграют в функции В ту же роль, что и величины в функции

Из уравнений движения Лагранжа (30), которые в новых обозначениях распадаются на две группы: одну, содержащую и другую, содержащую вытекает теперь с помощью уравнений (56).

Следовательно, с помощью функции Рауза можно всегда преобразовать уравнения движения механической системы таким образом, чтобы они состояли из дифференциальных уравнений 1-го порядка относительно величин вида гамильтоновых уравнений (52) и из дифференциальных уравнений 2-го порядка относительно вида лагранжевых уравнений (30).