2. Траектории механических систем в общем случае.

Если мы будем как и в § 2, 4, рассматривать координаты и время как функции параметра и, то мы для механической системы самого общего вида можем высказать соображения, совершенно аналогичные тем, которые были высказаны в 1 для одной материальной точки. Мы воспользуемся обозначениями § 2 и будем исходить из (46). Положим

Если мы вычислим с помощью определяющего его уравнения § 2 (43), то мы получим, подобно тому как и при вычислении в развернутом виде левой части уравнений Лагранжа в § 2, 1 (13):

Тогда из § 2 (46) следует:

Сюда добавляется уравнение энергии, вытекающее из § 2 (24), которое, на основании равенства принимает вид:

Уравнения (8) и (10) представляют собой обобщение уравнений (5) и (3), т. е. разложения на касательную и нормальную составляющие. Вместе с дифференциальным уравнением, определяющим параметр и, они образуют систему из дифференциальных уравнений относительно функций от . Но так как в силу уравнений (7) и (8) имеют место тождества

то из этих уравнений по крайней мере одно является излишним, так что в общем остаются независимых. При мы возвращаемся к случаю 1. Из двух уравнений (10), из которых в силу соотношений вытекающих из второе есть следствие первого, можно образовать новое уравнение, а именно уравнение (5); при этом необходимо Только положить

Далее совершенно так же как и в 1, исключая К из уравнений (10) и (11), можно получить дифференциальные уравнения для вычисления геометрической формы траектории, независимо от времени. Таким образом получается система дифференциальных уравнений для

Если нет внешних сил, то траектории (в виду равенства удовлетворяют, согласно уравнениям (10), дифференциальным уравнениям второго порядка к которым приближаются уравнения траекторий при возрастании К также при любых действующих силах.

Из произвольных постоянных в общем решении уравнений одна «вязана с и только аддитивно (так как и не входит явно в дифференциальные уравнения) и, следовательно, определяет только ту точку траектории, в которой

Если мы в качестве уравнения, определяющего параметр, примем такое дифференциальное уравнение, в которое входят только то между

начальными значениями этих величин, т. е. постоянных интегрирования, будет иметь место некоторое соотношение. Если мы, например, выберем в качестве параметра положим и то уравнение для параметра будет иметь вид и следовательно, нельзя будет выбирать произвольно. Решение дифференциальных уравнений для движения при отсутствии внешних сил, т. е. для так называемых геодезических траекторий, зависит, следовательно (кроме выбора начальной точки для отсчета параметра), от произвольных постоянных. При интегрировании дифференциальных уравнений (13) траекторий в общем случае, в которые входят также третьи производные от может быть произвольно предписана еще одна из величин Следовательно, решение зависит от постоянных.

Следовательно, при исчезновении внешних сил траекторий сливаются друг с другом. Например, в случае наклонного бросания в вертикальной плоскости парабол с вертикальной осью переходят в прямых.