§ 29. Сложение колебаний одного направления

В ряде случаев может возникнуть задача анализа движения тела, участвующего одновременно в двух колебательных процессах. Колеблющийся маятник может находиться на колеблющейся платформе или качающемся корабле.

Если речь идет о колебаниях одного направления, то такое сложение можно осуществить с помощью модели, показанной на рис. 48.

Рис. 48.

Изображены два маятника, колеблющихся в параллельных плоскостях. На них свободно положена легкая палка, к середине которой прикреплено записывающее перо. Можно считать приближенно, что при любых движениях маятников перо будет ходить в плоскости, мало отличной от плоскостей колебания обоих маятников, и что смещение пера в данное мгновение будет равно алгебраической сумме смещений маятников. Можно использовать и другое устройство: шарик колеблется на пружине, подвешенной к доске. Сама доска скреплена пружиной со стойкой, так что шарик участвует одновременно в двух колебаниях одного направления.

Если есть смещение в первом из колебаний при отсутствии второго, а — смещение при втором колебании в отсутствии первого, то при одновременно происходящих колебательных процессах в каждое мгновение

В самом общем случае складывающиеся колебания могут различаться амплитудами, частотами и иметь сдвиг по фазе.

Рассмотрим сначала случай, когда колебания одинаковы по амплитуде и частоте, но сдвинуты по фазе. Тогда

и

(кликните для просмотра скана)

Это значит, что суммарное колебание будет также гармоническим с амплитудой

Отсюда следует: амплитуды колебаний арифметически складываются, если колебания совпадают по фазе; амплитуды колебаний вычитаются, если колебания противоположны по фазе В промежуточных случаях амплитуда примет значение между нулем и В частности, при амплитуда суммарного колебания равна А. Рис. 49 иллюстрирует сказанное.

Другой важный случай — это сложение колебаний разных частот. Для простоты положим и амплитуды равными. Тогда

В общем случае при сложении таких колебаний возникает какое-то колебательное движение, при этом не удастся подметить строгой периодичности в изменении смещения х. Однако два частных случая заслуживают особого внимания.

Прежде всего, рассмотрим два колебания с близкими частотами Тогда и смещение является произведением двух косинусов: один меняется со временем быстро, а другой — очень медленно. Поэтому

можно рассматривать как медленно меняющуюся амплитуду колебаний, происходящих со средней частотой

Рис. 50.

Рис. 51.

Такие колебания, называемые биениями, изображены на рис. 50. Здесь отчетливо видны два периода: период основного колебания и период биений.

Второй важный случай — это сложение двух колебаний, частоты которых находятся в отношении целых чисел. Совершенно ясно, что результирующее колебание будет периодическим. Если, скажем, период одного колебания 3 с, а другого 7 с, то через 21 с суммарное колебание будет повторяться. Это показано на рис. 51.