Полное удлинение, выраженное через составляющие перемещения

43. В частных примерах §§ 41—42 мы легко получили значения удлинений, происшедших от заданных перемещений. Однако в некоторых приложениях (например, когда не все растягиваемые стержни лежат в одной плоскости) определение удлинений несколько трудно, поэтому полезно иметь общую формулу. К выводу этой общей формулы мы сейчас приступим.

Рассмотрим стержень связывающий два узла Пусть координаты узлов отнесены к некоторой подходящим образом выбранной системе осей координат и в недеформированной конфигурации равны Пусть перемещения узлов отнесенные к тем же осям, будут соответственно Тогда длина которая до приложения нагрузки равна I, где

после нагружения будет где

Преобразуем это выражение:

Полное удлинение и отношения типа - обычно очень малы. Поэтому мы можем пренебречь их квадратами по сравнению с первыми степенями.

Тогда из (II), заметив еще, что первые три члена в правой части в силу (I) дают стоящий слева, мы получим:

Мы видим, что выражение для состоит из суммы трех произведений, первое из них является выражением для которое мы получили бы, если был бы параллелен Второе и третье имеют аналогичный смысл. Полученный результат следует запомнить, ибо он имеет весьма много важных приложений.