Установившиеся режимы при отсутствии подбрасывания [4-6].

Движение частицы без отрыва от вибрирующей поверхности может иметь место лишь при выполнении условия (5), т. е. при условии, что параметр перегрузки

Условия существования и устойчивости всех возможных установившихся режимов движения частицы при отсутствии подбрасывания представлены в табл. 1. Эти условия выражены через четыре безразмерных параметра

— соответственно углы трения покоя и скольжения), наряду с которыми используют также параметры связанные соотношениями

Кроме того, использованы функции этих параметров:

а также функция представляющая решения трансцендентного уравнения

графики этой функции приведены на рис. 3.

При (табл. 1) возможны ускоренные движения частицы. Все регулярные режимы имеют период переключений» сошадающий с периодом колебаний поверхности если исключить тривиальный случай абсолютного покоя, могут быть всего четырех видов (с двумя подвидами отвечающими режимам 3 и 4). В режимах 1, 3 и 4 имеются осгаиовки частицы конечной продолжительности, а режим 2 характеризуется попеременным скольжением частицы вперед и назад с мгновенными остановками. В режимах частица скользит только в одном направлении, в то время как при прочих режимах имеются этапы скольжения как в положительном, гак и в отрицательном направлениях.

Условия существования каждою режима либо распадаются на две группы соотношений, коюрые переходят одна в при замене на (или соответственно на и обратно) либо не изменяются при указанной замене. Отсюда следует, что области существования режимов в пространстве параметров симметричны относительно двумерного многообразня, определяемого равенствами

В некоторых случаях, а также при приближенных расчетах допустимо считать коэффициенты трения покоя и скольжения и/одинаковыми. При этом, согласно (12), число определяющих безразмерных параметров становится равным двум, и области существования установившихся режимов могут быть изображены на плоскости (рис. 4).

Квадранту плоскости, определяемому неравенствами соответствуют реально невозможные значения параметров, поскольку, согласно (12), указанные неравенства сводятся к требованию одновременного выполнения противоречивых соотношений

В рассматриваемом случае вся область возможных значений заполнена областями существования рассмотренных режимов, и области существования отдельных режимов не налагаются друг на друга. Поэтому каждой комбинации

(см. скан)

(см. скан)

значений параметров системы в данном случае отвечает некоторый, вполне определенный режим движения.

Аналогичное положение, как можно убедиться путем анализа приведенных в табл. 1 условий существования режимов, имеет место, когда коэффициенты трения неодинаковы, но угол наклона плоской поверхности к горизонту а. меньше по модулю угла трения скольжения При этом ускоренное движение частицы не может иметь места. Условия существования каждого из регулярных режимов и относительного покоя во всех случаях таковы, что при выполнении условий существования какого-либо одного из этих режимов не выполняются условия существования ни одного из прочих.

Рис. 3. (см. скан) Графики для определения фазового угла остановки частицы по фазовому углу начала скольжения

В случае, когда т. е. когда угол наклона плоской поверхности к горизонту по абсолютной величине больше угла трения, также имеет место «однозначность», а именно в этом случае, независимо от значений других параметров, всегда имеет место ускоренное движение частицы вниз по поверхности.

Когда угол наклона плоской поверхности к горизонту больше угла трения скольжения, но меньше угла трения покоя, т. е.

даже при отсутствии вибрации поверхности в зависимости от начальных условий частица либо покоится, либо безостановочно, с постоянным ускорением, скользит вниз.

При вибрации в случае выполнения (15) также могут одновременно существовать два режима движения, один из которых — регулярный режим (в частности, относительный покой), а другой является безостановочным ускоренным движением

вниз. Если один из двух возможных режимов движения устойчив, а другой неустойчив, в действительности реализуется устойчивый режим. Если оба режима устойчивы (в «малом»), то характер возникающего установившегося режима зависит от начальных условий. В то же время, если вибрация поверхности достаточно интенсивна, т. е. при достаточно большой амплитуде ускорения , всегда имеет место ускоренное скольжение частицы вниз.

При все возможные установившиеся режимы движения асимптотически устойчивы в «большом» во всей области своего существования, определяемой неравенствами табл. 1 [4, 6].

Рис. 4. (см. скан) Области существования и устойчивости установившихся режимов движения частицы при отсутствии поабрасывания

Аналогичное положение наблюдается и в случае когда невозможны режимы с остановками и существует лишь один установившийся режим движения частицы — безостановочное ускоренное скольжение вниз по поверхности В этом случае безостановочное движение устойчиво по моментам перехода в «большом» (хотя и не устойчиво по Ляпунову), так как в это движение переходит с течением времени любое другое движение, в котором скольжение частицы вниз началось в произвольный момент времени Если существует только безостановочное ускоренное скольжение частицы и никакие другие установившиеся режимы движения невозможны, то безостановочное движение устойчиво в «большом» по моментам перехода, т. е. оно танавливается независимо от значения момента начала

скольжения частицы. В случае, когда при возможно не только безостановочное скольжение, но и какой-либо регулярный режим движения, каждый из существующих установившихся режимов устойчив по моментам перехода в «малом» во всей области своего существования, исключая ее границы.

Итак, все возможные установившиеся режимы движения частицы при отсутствии подбрасывания устойчивы (по крайней мере, в «малом») во всей области их существования, за исключением, быть может, их границы. Более сложная картина характерна для случая движения с подбрасыванием, когда области устойчивости установившихся режимов движения не совпадают с областями их существования.