6.6. Определение перемещений в статически неопределимых системах

Мы уже знаем, что в любой системе перемещение определяется как результат перемножения эпюры моментов от внешних сил на эпюру моментов от единичной силы, приложенной в точке, перемещение которой надо найти. В статически неопределимых системах, очевидно, для построения эпюры моментов от внешних сил нужно раскрыть статическую неопределимость и построить суммарную эпюру так, как это уже многократно делалось в рассмотренных выше примерах. Когда к такой системе приложена единичная сила, снова возникает вопрос о раскрытии статической неопределимости. Таким образом, получается, что для определения перемещения в статически неопределимых системах нужно дважды раскрывать статическую неопределимость.

Возникающие трудности, однако, легко устраняются. Положим, дана некоторая статически неопределимая система и требуется определить перемещение, например, точки А (рис. 6.45, а).

Рис. 6.45

Рассмотрим некоторую основную систему и приложим к ней заданные силы и неизвестные силовые факторы (рис. 6.45, б). После того как статическая неопределимость раскрыта и неизвестные найдены, рама, показанная на рис. 6.45, б, ничем не отличается от заданной. В частности, и перемещения всех ее точек будут точно такими же, как и у заданной. Поэтому можно рассматривать силы как заданные. Эпюра моментов от сил представляет собой эпюру моментов в статически неопределимой

раме. Следовательно, сначала необходимо раскрыть статическую неопределимость и построить суммарную эпюру моментов. Вид этой эпюры, понятно, не зависит от выбора основной системы. Далее, освобождаем систему от внешних сил, в том числе и от сил и прикладываем единичную силу к статически определимой раме (рис. 6.45, в).

Полученную единичную эпюру перемножаем с суммарной эпюрой внешних заданных сил. На практике удобнее умножить единичную эпюру отдельно на эпюры от заданных сил и от силовых факторов а затем полученные результаты раически сложить. Т аким разом определяется искомое перемещение. Вторично раскрывать статическую неопределимость, как видим, не нужно.

Пример 6.10. Определить горизонтальное перемещение точки А в раме, показанной на рис. 6.46, а. Эпюра изгибающих моментов для этой рамы уже была построена ранее (см. пример 6.4). Поэтому, считал, что первая часть задачи решена, разрезаем раму в любой точке и к полученной основной системе прикладываем в точке А единичную силу (рис. 6.46, б).

Перемножая эпюры, находим

Рис. 6.46

Пример 6.11. Определить, насколько уменьшится диаметр АВ кольцевой рамы (рис. 6.47, а) при нагружении ее силами Р. Статическая неопределимость этой рамы также уже была раскрыта ранее (см. пример 6.5). Изгибающий момент для четверти рамы оказался в следующей зависимости от угла

Рис. 6.47

Разрезаем раму в произвольном сечении, а в точках А и В прикладываем противоположно направленные единичные силы (рис. 6.47, б). В сечении с текущим координатным углом имеем . Тогда