20.4. Взаимодействие волновых пучков и пакетов

Явления, возникающие при нестационарном взаимодействии квазигармонических волн, очень разнообразны. Это, например, слияние импульсов и пучков резонансно взаимодействующих волн в неравновесных средах [30], существование связанных (трехволновых) солитонов модуляции [31], обращение волнового фронта [32, 33] и многие другие. Количественное описание этих и подобных эффектов весьма сложно, поскольку при этом приходится решать систему связанных нелинейных параболических уравнений. Качественно же многие из (них пояснить нетрудно, что мы и сделаем в этом параграфе.

Обращение волнового фронта [32, 46]. Уже в первых экспериментах по вынужденному рассеянию электромагнитных волн на создаваемой ими звуковой решетке (условие синхронизма где и — соответственно частота и волновое число падающей и рассеянной электромагнитных волн, а частота и волновое число акустической волны) было замечено, что при выходе из области нелинейного взаимодействия рассеянный назад волновой пучок примерно повторяет эволюцию пучка падающей волны-накачки. Затем выяснилось, что во многих экспериментальных ситуациях рассеянная волна точно воспроизводит комплексно-сопряженную падающую волну, сильно промодулированную в поперечном направлении [3]. Повторение рассеянной назад волной того же оптического пути, который прошла накачка по неоднородной (в общем случае случайной) среде, но в обратном направлении, означает, что область нелинейного взаимодействия работает как эффективное зеркало. Но зеркало очень необычное: отраженная назад волна повторяет оптический путь падающей волны, лишь когда ее фазовый фронт оказывается комплексно-сопряженным с фазовым фронтом накачки: При этом полная фаза квазигармонической волны при распространении в х-направлении меняется, как у падающей при обратном ходе времени. Именно поэтому эффекты воспроизведения поперечной модуляции пучка падающей волны в излучении, идущем из области нелинейного взаимодействия, получили название «обращение волнового фронта».

То, что объем нелинейного взаимодействия работает как обращающее зеркало, связано с избирательным характером усиления рассеянной

(стоксовой) волны, которая нарастает из шумов, в поле сильно неоднородного в поперечном направлении пучка накачки. Если фазовый фронт накачки немодулирован, то в ее поле одинаково усиливаются рассеянные назад волны с произвольной поперечной структурой; если же фронт накачки сильно изрезан, то рассеянная волна, промодулированная в поперечном направлении таким образом, что максимумы ее амплитуды попадают на минимумы амплитуды накачки и наоборот, усиливается хуже, чем та, которая повторяет профиль накачки. Подобные «отражающие зеркала» могут быть весьма полезны, в частности, для реализации самокорректирующейся транспортировки мощного электромагнитного излучения на большие расстояния — для этого следует обратить волновой фронт слабого сигнала, пришедшего по трассе предполагаемой транспортировки, от будущего приемника излучения. Обращение волнового фронта такого сигнала позволяет использовать «собранную» в его фазовом фронте информацию об этой трассе.

Связанные солитоны [31]. Как мы видели в гл. 17, при резонансном взаимодействии трех (или двух) пространственно однородных или стационарных волн в среде с квадратичной нелинейностью обмен энергией и, следовательно, изменение амплитуд волн осуществляется не при любых фазовых соотношениях между ними. При определенных разностях фаз возможно существование стационарного состояния (на рис. 17.5 ему соответствуют состояния равновесия), в котором амплитуды волн не меняются. Естественно предположить, что подобное состояние должно существовать и при взаимодействии модулированных волн — волновых пакетов, если изменение фаз при их нелинейном взаимодействии сбалансируют эффекты дисперсионного расплывания. На спектральном языке это, по существу, тот же самый нелинейный сдвиг частоты, компенсирующий линейный рассинхронизм, о котором мы говорили в связи с генерацией сателлитов и установлением солитонов огибающей при распространении волнового пакета в среде с кубичной нелинейностью. В простейшей постановке, когда взаимодействуют основная волна и ее вторая гармоника , а дисперсионные эффекты внутри узкого спектрального интервала существенны лишь на основной частоте, мы приходим к стандартному уравнению, описывающему солитоны и двумерные волноводы в среде с кубичной нелинейностью: .

В [31] показано, что связанные солитоны устойчивы по отношению к возмущениям, не меняющим энергии взаимодействующих пакетов.

Слияние волновых импульсов при взрывной неустойчивости дает пример чисто энергетического взаимодействия волн. Фазы волн

Рис. 20.9. Слияние импульсов при взрывной неустойчивости: а — амплитуды импульсов превышают критическое значение — импульсы сливаются; амплитуды меньше критических — импульсы разбегаются

при взрывной неустойчивости, как мы знаем (см. (17.3)), быстро синхронизуются. Поэтому можно сразу записать уравнение для амплитуд трех волн, удовлетворяющих условию дополнив уравнения (17.31) слагаемыми, пропорциональными групповым скоростям волн:

(Здесь разность фаз волн ) Допустим, что при одна из волн существенно преобладала над другими. Тогда для слабых волн получаются линейные уравнения, из решения которых следует экспоненциальный рост на начальной стадии. Когда амплитуды всех трех волн становятся одного порядка, неустойчивость переходит на более быструю нелинейную стадию и происходит «взрыв» — амплитуды волновых пакетов обращаются в бесконечность за конечное время — начальные амплитуды волн). Ситуация, очевидно, должна быть похожа на то, что происходит с пространственно однородными волнами при взрыве. Это и понятно, ведь разбегание волновых пакетов за счет различия групповых скоростей не успевает проявиться: перекрывающиеся в какой-то момент времени волновые пакеты перекрываются и при так как слишком быстро они нарастают во времени. Именно об этом и говорят результаты аналитического и численного исследования

[30, 34] (рис. 20.9). Естественно, что если начальные амплитуды импульсов малы, а разность групповых скоростей велика, то импульсы пройдут один сквозь другой за столь малое время, что неустойчивость не успеет вступить в нелинейную (взрывную) стадию.