§ 3.3. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ ПРЕДЕЛ ДЛЯ КОНФИГУРАЦИОННОГО МИКРОКАНОНИЧЕСКОГО АНСАМБЛЯ

В этом параграфе выбирается фиксированное взаимодействие и с помощью (1.3) вычисляется потенциальная энергия

Пусть снова — ограниченное и измеримое по Лебегу подмножество пространства с объемом Мы вводим конфигурационную микроканоническую статистическую сумму

соответствующую ансамблю, определенному выражением (2.5) гл. 1. Далее мы определяем конфигурационную энтропию

где может принимать значение Величина является возрастающей функцией и, как функция Е, имеет обратную функцию возрастающую с

3.3.1. Предложение.

При фиксированном функция является

(а) возрастающей функцией S,

(б) убывающей функцией А.

Утверждение следует из (а) и того факта, что — возрастающая функция .

Заметим, что если выполняется условие устойчивости (2.1), то

Теперь мы попытаемся доказать, что выражение имеет предел при в смысле Фишера, а величины стремятся к конечным значениям. С этой целью мы изучим термодинамический предел величины опираясь на неравенство, доказываемое ниже.

3.3.2. Предложение.

Пусть взаимодействие удовлетворяет условию быстрого убывания 3.1.1.

(а) Если области удалены друг от друга на расстояние то

(б) Если имеется несколько областей и расстояние между любыми двумя из них то

Действительно, пусть конфигурации таковы, что

тогда

Поэтому

и, логарифмируя это выражение, получаем

Выражение (3.4) прямо следует из (3.6), а с помощью повторного применения (3.4) и неравенства

получаем выражение (3.5).

3.3.3. Предел для специальной последовательности кубов.

Предположим теперь, что взаимодействие является быстро убывающим. Сначала мы докажем существование термодинамического предела для частной последовательности областей пространства Пусть 0 удовлетворяет условию

и пусть то же, что и в определении быстрого убывания

3.1.1. Пусть также

и для целых О

Рис. 5. Кубы .

Определим теперь как куб с ребром в пространстве . В кубе можно разместить кубов получающихся сдвигом из куба (рис. 5), так, что расстояния между ними не меньше

Применяя последовательно предложения 3.3.1 (б) и 3.3.2 (б), получаем

В частности,

Для действительного а и такого что является целым числом 0, положим

Из (3.12) следует, что

Последовательность как убывающая имеет предел

С другой стороны, так как согласно (3.7), то существует предел

Таким образом, мы показали, что если — рациональное число вида где — целые числа, действительное число, то существует следующий предел:

где

и в том и только том случае, если для всех

Разделив выражение (3.11) на и переходя к пределу при получим как частный случай

При повторным применением формулы (3.16) найдем

Так как последовательность убывающая, для имеем

С помощью (3.1) и (3.2) можно проверить, что при при а

Подставляя в имеем (рис. 6)

при

Рис. 6. Выпуклая область Д.

3.3.4. Предложение.

Пусть выполняется условие устойчивости. Тогда существует непустое открытое выпуклое множество (рис. 6), такое, что может быть непрерывно продолжена до выпуклой функции на А, и если точка не принадлежит замыканию А множества А. Кроме того, является возрастающей функцией а.

Заметим сначала, что является возрастающей функцией а в силу предложения Доказательство выпуклости является более тонким-, так как первоначально определена только для вида Обозначим

и пусть Г — замыкание этого множества в в силу неравенства (3.16) Г выпукло. Обозначим через

тренность множества Г, которая является выпуклым открытым множеством.

Из оценки (3.19) следует, что ограничена сверху (там, где она определена) в области (3.20). Отсюда, в частности, видно, что множество непусто. Если точка то можно выбрать точки такие, что множество

покрывает окрестность точки , если точка меняется в пределах (3.20). Из (3.17) следует, что ограничена сверху и в окрестности точки . С другой стороны, условие устойчивости (см. (3.3)) предполагает ограниченность снизу

так, что ограничена в окрестности любой точки Д.

Используя неравенство (3.17) и ограниченность мы докажем) теперь, что можно непрерывно продолжить на Д. Пусть — круг, такой, что для некоторого выполняется условие

и пусть — круг, концентричный первому, с половинным радиусом. Поскольку круги типа покрывают достаточно показать, что имеет непрерывное продолжение на Это будет сделано, если мы докажем, что равномерно непрерывна на первоначальном множестве своего определения внутри

Для простоты положим В частности, из (3.17) получаем

Следовательно,

И подобным же образом

Если мы можем считать, что при Из (3.23), (3.25) и (3.26) находим, что

где Отсюда следует равномерная непрерывность что и завершает наше доказательство.

Непрерывное продолжение функции на мы снова обозначим символом

3.3.5. Замечание.

Пусть даны тогда функции сходятся к равномерно, относительно всех о как последовательность монотонных функций, сходящаяся к непрерывной функции на компактном интервале, сходится равномерно.

3.3.6. Общий Случай.

Мы докажем теперь существование термодинамического предела уже не для последовательности кубов, как это было сделано выше, а для произвольных областей , стремящихся к бесконечности в смысле Фишера.

3.3.7. Предложение.

Пусть (в смысле Фишеоа), и пусть

где тогда

Покажем сначала, что

Пусть величина близка к и имеет вид Положим

Фиксируя выберем как функцию так, чтобы

С помощью определения 2.1.2 легко убедиться, что если область «достаточно велика» (т. е. ), то она содержит не пересекающихся кубов с ребрами где

Поэтому содержит кубы полученные сдвигами куба и отстоящие друг от друга на расстояние не менее Используя предложения 3.3.1 (б), 3.3.2 (б) и тот факт, что получаем

Можно переписать это выражение в виде

Полагая и пользуясь (3.31) и замечанием 3.3.5, приходим к следующему результату:

Теперь, устремляя справа, мы получим из (3.33) неравенство (3.30).

Для завершения доказательства (3.29) покажем, что

Сходимость в смысле Фишера (см. (1.10) гл. 2) означает, что существуют и целое число такие, что содержит сдвиг А области и

Пусть близкое к имеет вид если можно положить Пусть также — множество точек отстоящих от более чем на Так как (в смысле Фишера), то и (в смысле Фишера) и

Из предложений 3.3.1 (б) и 3.3.2(a) следует, что

Разделив обе части этого неравенства на и переходя к пределу при (а значит, и с помощью (3.36) получаем

Преобразуя теперь правую часть этого неравенства с помощью выражений (3.14), (3.30) и (3.35), приходим (при к искомому результату (3.34).

Можно дополнить предложение 3.3.7 следующим предложением.

3.3.8. Предложение.

Пусть (в смысле Фишера) и

(а) Если точка не принадлежит замыканию А множества А, то

(б) Если точка принадлежит границе множества то

где

Пусть стремится при к конечной величине, так что утверждение (а) или (б) нарушается. Определим так же, как во второй части доказательства предложения 3.3.7, и (переходя к подпоследовательности) допустим, что

Из предложения 3.3.2 (а) следует, что

В случае (а) можно выбрать и возникает противоречие с тем, что В случае (б) противоречие получается, если устремить, вдоль прямой линии.

3.3.9. Предложение.

Функция непрерывна на объединении множества с полупрямой Если (в смысле Фишера) и

то

Из (3.19) и (3.22) следует, что если . Окончательно равенство (3.41) следует из неравенства (3.39) и (3.30), так как доказательство (3.30) остается справедливым и в данном случае.

3.3.10. Энтропия как функция энергии и плотности.

При изучении термодинамического предела мы до сих пор рассматривали по техническим причинам энергию Е как функцию и Рассмотрим теперь энтропию как функцию . Для этих новых переменных легко получить теорему о существовании термодинамического предела, так как мы можем сформулировать полученные выше результаты в виде, симметричном относительно и Е. Пусть Е — подмножество пространства состоящее из

(а) графика над областью т. е.

(б) объединения полупрямых где — точка границы области отличная от при

(в) полупрямой

Прежде чем сформулировать основной результат, мы изменим по очевидным причинам нормировку переменных. Запишем

и обозначим через Е поверхность, соответствующую в этих новых переменных поверхности Предложения

3.3.7, 3.3.8 и 3.3.9 дают следующий результат.

3.3.11. Предложение.

Если в смысле Фишера и если где конечны, то

Заметим, что если , то

Это следует из (3.22) и неравенства

Определим является наибольшей плотностью в 2. При отсутствии твердых сердцевин (т. е. в случае, когда можно считать, что не

принимает значения имеем Если частицы имеют твердые сердцевины, то полностью определяется их размером и служит плотностью их таиплотнейшей упаковки». Если положим положим также

Рис. 7. Выпуклая область .

Теперь все наши результаты мы можем выразить в виде следующей теоремы (рис. 7).

3.3.12. Теорема.

Пусть определена формулами (3.1) и (3.2) для устойчивого, быстро убывающего потенциала. Тогда существуют:

(б) выпуклая непрерывная функция во на полуинтервале такая, что

(в) вогнутая непрерывная функция на области возрастающая с возрастанием при фиксированном и такая, что при

Пусть в смысле Фишера и Тогда

(б) если принадлежит границе области , то

где

(в) если принадлежит дополнению замыкания множества , то

3.3.13. Равномерная сходимость

Пусть К — компактное множество (в смысле Фишера). Сходимость выражения

к нулю равномерна для (В противном случае можно найти такие, что

что противоречит теореме 3.3.12.)

3.3.14. Ансамбль (2.4) гл. 1.

В гл. 1 мы ввели две меры (выражения (2.4) и (2.5)), описывающие

конфигурационные микроканонические ансамбли

Сравним теперь эти ансамбли.

На рис. 8 показана типичная зависимость при фиксированном

Рис. 8. Зависимость энтропии от энергии.

В силу оценки (3.43) Пусть — точная нижняя грань тех для которых есть действительное число либо Заметим, что (так как выпукла) функция строго возрастает на интервале Этот факт позволяет сравнить ансамбль, определенный выражением (3.46), который мы использовали до сих пор, с ансамблем, определенным выражением (3.45). Если статистическая сумма определена выражением, аналогичным выражению (3.1), определяющему статистическую сумму для ансамбля (3.45), то

Пусть смысле Фишера), где Из строгого возрастания и теоремы 3.3.12 следует, что

Далее легко видеть, что нормированные меры, соответствующие выражениям (3.45) и (3.46), становятся близкими по норме при При в эти два ансамбля могут не совпадать (пунктирная вогнутая линия на рис. 8), но этот факт не является существенным при переходе к классическим ансамблям, который будет сделан в следующем разделе. Ансамбль (3.45) интересен тем, что он может дать нетривиальный термодинамический предел для неустойчивых взаимодействий.