Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 3.3. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ ПРЕДЕЛ ДЛЯ КОНФИГУРАЦИОННОГО МИКРОКАНОНИЧЕСКОГО АНСАМБЛЯВ этом параграфе выбирается фиксированное взаимодействие Пусть снова
соответствующую ансамблю, определенному выражением (2.5) гл. 1. Далее мы определяем конфигурационную энтропию
где 3.3.1. Предложение.При фиксированном (а) возрастающей функцией S, (б) убывающей функцией А. Утверждение Заметим, что если выполняется условие устойчивости (2.1), то
Теперь мы попытаемся доказать, что выражение 3.3.2. Предложение.Пусть взаимодействие удовлетворяет условию быстрого убывания 3.1.1. (а) Если области
(б) Если имеется несколько областей
Действительно, пусть конфигурации
тогда
Поэтому
и, логарифмируя это выражение, получаем
Выражение (3.4) прямо следует из (3.6), а с помощью повторного применения (3.4) и неравенства
получаем выражение (3.5). 3.3.3. Предел для специальной последовательности кубов.Предположим теперь, что взаимодействие является быстро убывающим. Сначала мы докажем существование термодинамического предела для частной последовательности
и пусть 3.1.1. Пусть также
и для целых О
Рис. 5. Кубы Определим теперь
Применяя последовательно предложения 3.3.1 (б) и 3.3.2 (б), получаем
В частности,
Для действительного а и такого
Из (3.12) следует, что
Последовательность
С другой стороны, так как
Таким образом, мы показали, что если
где
и Разделив выражение (3.11) на
При
Так как последовательность
С помощью (3.1) и (3.2) можно проверить, что Подставляя в
при
Рис. 6. Выпуклая область Д. 3.3.4. Предложение.Пусть выполняется условие устойчивости. Тогда существует непустое открытое выпуклое множество Заметим сначала, что
и пусть Г — замыкание этого множества в тренность множества Г, которая является выпуклым открытым множеством. Из оценки (3.19) следует, что
покрывает окрестность точки
так, что Используя неравенство (3.17) и ограниченность
и пусть Для простоты положим
Следовательно,
И подобным же образом
Если
где Непрерывное продолжение функции 3.3.5. Замечание.Пусть даны 3.3.6. Общий Случай.Мы докажем теперь существование термодинамического предела уже не для последовательности кубов, как это было сделано выше, а для произвольных областей 3.3.7. Предложение.Пусть
где
Покажем сначала, что
Пусть величина
Фиксируя
С помощью определения 2.1.2 легко убедиться, что если область
Поэтому
Можно переписать это выражение в виде
Полагая
Теперь, устремляя Для завершения доказательства (3.29) покажем, что
Сходимость в смысле Фишера (см. (1.10) гл. 2) означает, что существуют
Пусть
Из предложений 3.3.1 (б) и 3.3.2(a) следует, что
Разделив обе части этого неравенства на
Преобразуя теперь правую часть этого неравенства с помощью выражений (3.14), (3.30) и (3.35), приходим (при Можно дополнить предложение 3.3.7 следующим предложением. 3.3.8. Предложение.Пусть
(а) Если точка
(б) Если точка
где
Пусть
Из предложения 3.3.2 (а) следует, что
В случае (а) можно выбрать 3.3.9. Предложение.Функция
то
Из (3.19) и (3.22) следует, что если 3.3.10. Энтропия как функция энергии и плотности.При изучении термодинамического предела мы до сих пор рассматривали по техническим причинам энергию Е как функцию (а) графика
(б) объединения полупрямых (в) полупрямой Прежде чем сформулировать основной результат, мы изменим по очевидным причинам нормировку переменных. Запишем
и обозначим через Е поверхность, соответствующую в этих новых переменных поверхности 3.3.7, 3.3.8 и 3.3.9 дают следующий результат. 3.3.11. Предложение.Если Заметим, что если
Это следует из (3.22) и неравенства
Определим принимает значения
Рис. 7. Выпуклая область Теперь все наши результаты мы можем выразить в виде следующей теоремы (рис. 7). 3.3.12. Теорема.Пусть
(б) выпуклая непрерывная функция во на полуинтервале
(в) вогнутая непрерывная функция Пусть
(б) если
где
(в) если
3.3.13. Равномерная сходимостьПусть К — компактное множество
к нулю равномерна для
что противоречит теореме 3.3.12.) 3.3.14. Ансамбль (2.4) гл. 1.В гл. 1 мы ввели две меры (выражения (2.4) и (2.5)), описывающие конфигурационные микроканонические ансамбли
Сравним теперь эти ансамбли. На рис. 8 показана типичная зависимость
Рис. 8. Зависимость энтропии от энергии. В силу оценки (3.43)
Пусть
Далее легко видеть, что нормированные меры, соответствующие выражениям (3.45) и (3.46), становятся близкими по норме при
|
1 |
Оглавление
|