Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 6.14. Потенциалы поля в движущейся непроводящей среде.В § 6.1 был введен 4-потенциал электромагнитного поля в вакууме. Конечно, электромагнитное поле можно определить сразу для определения полей Ниже будет показано, как можно получить выражения для потенциалов поля в движущейся среде. В качестве примера применения таких потенциалов будет рассмотрено распространение плоской электромагнитной волны в среде, которая движется относительно неподвижного наблюдателя. Этот пример имеет самое непосредственное отношение к вопросам, разбираемым в гл. 7. В данном параграфе используется аппарат тензорной алгебры, краткие сведения о котором можно найти в Приложении I, § 3. Перейдем к выводу уравнепий для 4-потенциала в движущихся средах. Поле в движущейся среде будем описывать двумя тензорами: тензором Введем четырехмерный потенциал поля в среде Ф, определив его следующим соотношением:
совпадающим с формулой (6.28). Зная четыре компоненты потенциала Материальные соотношения (0.79) и (6.80), определяющие Ьвязь между тензорами и
где тензор четвертого ранга еподбирается так, чтобы выполнялись соотношения Минковского (6.74) и (6.75). Нетрудно показать, что нужными свойствами обладает тензор следующего вида:
Здесь
в гл. 5 и имеющей компоненты
Нетрудно видеть, что в пустоте
который соответствует известным соотношениям между полями
В покоящейся среде тензор В этом легко убедиться, если в формуле (6.201) положить Поскольку компоненты тензора Перейдем теперь к выводу уравнений для потенциалов поля в движущейся среде. Для этого воспользуемся уравнением (6.60):
Подставим в это уравнение
Используя явное выражение (6.201) для тензора к виду
Умножим обе части уравнения (6.207) на тензор
Воспользовавшись легко проверяемым соотношением
получим окончательно
Система уравнений (6.209) определяет все компоненты потенциала Эта система может быть упрощена, если на потенциалы наложить удачно выбранное дополнительное условие, например потребовать, чтобы выполнялось следующее соотношение:
Это условие является обобщением известного условия Лоренца, налагаемого на потенциалы в вакууме (см. (6.8)). Возможность удовлетворить условию (6.210) доказывается так же, как и в обычной электродинамике. При выполнении условия (6.210) система уравнений (6.209) упрощается и принимает следующий вид:
Система (6.211) более удобна по сравнению с системой (6.209) в том отпошении, что она состоит из четырех уравнений, в каждое из которых входит только одна компонента вектор-потенциала Если в движущейся среде имеется граница раздела, то система (6.211) должна быть дополнена соответствующими граничными условиями (см. § 6.8). В качестве примера решения получеппых уравнений рассмотрим электромагнитное поле в движущейся среде в отсутствие внешних источников (токов и зарядок). Поскольку в этом случае все
В силу дополнительного условия (6.210) из четырех величин В этом случае из системы уравнений (6.212) получается следующее уравнение для нотенциала А:
где
которое следует из дополнительного условия (6.210) при
Зная Уравнепие (6.213) определяет распространение свободных электромагнитных волн в движущейся среде (под свободными электромагнитными волнами обычно подразумевается поле в отсутствие зарядов и токов). Перейдем теперь к решению этого уравнения. Будем искать вектор-потенциал
Подставляя это выражение в уравнепие (6.213), получаем
Из соотношения (6.217) видно, что амплитуда условие
Уравнение (0.218) пструдио вывести из диверсионного уравнения, справедливого для плоских монохроматических воли в покоящейся среде:
Мы перепишем его в виде
В скобки мы заключили инвариантную относительно преобразований Лоренца величину — квадрат четырехмерного волнового вектора в вакууме к
(см. по этому поводу § 7.2). В силу этих соображений в системе отсчета, относительно которой среда движется со скоростью V, диснерсионное уравнение как раз и приобретает вид (6.218):
Это условие определяет связь между волновым вектором
Из условия обращения в нуль скалярного произведения (6.219) следует, что в движущейся среде вектор
Отсюда видно, что вектор В перпендикулярен волновому вектору к, а вектор Е — нет (в силу условия (6.219) вектор В уравнение (6.217), связывающее между собой волновой вектор к и частоту со волпы в движущейся среде, входит скалярное произведение
или
Решая в том же приближении полученное квадратное уравнение для
Из двух знаков перед первым слагаемым в правой части нужно выбрать зпак плюс, так как при
здесь мы ввели показатель преломления покоящейся среды Если угол между векторами
Величина света, на этот раз в движущейся изотропной среде. Сравнивая выражения (6.222) и (6.221), мы видим, что фазовая скорость света в движущейся среде различна в различных направлениях. Если свет распространяется по движению среды
Если свет распространяется против движения среды
Множитель
|
1 |
Оглавление
|