Главная > Физика > Феймановские лекции по гравитации
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.2. Тензор энергии-импульса для скалярной материи

Прежде, чем мы сможем вычислять наблюдаемые эффекты и делать предсказания другие, чем закон "обратных квадратов", и то, что "одинаковые тела" притягиваются с силой, пропорциональной его энергии, мы должны определить, как материя определяет тензор давления . Сначала мы проведем в некоторых деталях вычисления, основанные на простейшем предположении, что материя может быть представлена скалярной функцией . Позднее нам понадобится рассматривать функции более высокого ранга; возможно в конце курса мы рассмотрим вещество со спином 1/2, поскольку такое вещество имеет свойства, существенно отличающиеся от вещества, характеризующегося целым спином. Для исследования свойств материи с целыми значениями спина 1 и 2 требуются более сложные алгебраические преобразования, однако никаких принципиальных нововведений привлекать не требуется.

Как сделать обобщение плотности энергии-импульса для скалярного поля . Если заглянуть в книгу Вентцеля [Went 49] по теории поля, мы обнаружим, что предлагается следующая процедура. Предположим, что лагранжиан зависит от полей и их производных

(4.2.1)

Компонент с индексами тензора энергии-импульса должен представлять плотность энергии, которая есть гамильтониан. Поэтому используя обычное классическое описание для выражения гамильтониана из лагранжиана

(4.2.2)

получаем следующее соотношение

(4.2.3)

Это правило не является корректным в общем случае. Во-первых, оно не обязательно приводит к выражению, симметричному по индексам . Если тензор Т - несимметричен, то результирующая теория - патологическая (например, нет способа определить угловой момент в таком поле).

Рис. 4.2.

Закон сохранения энергии в общем случае не выполняется, поскольку в дивергенцию включены члены, которые не являются больше равными

(4.2.4)

В нашем частном скалярном случае правило (4.2.3) действительно приводит к тому, чтобы получить удовлетворительную симметричную форму. Мы получаем лагранжиан и действие

который дает следующее выражение для тензора давления

(4.2.6)

С учетом тензора давления для скалярной материи (4.2.6) член, описывающий взаимодействие в лагранжиане, имеет следующий вид:

(4.2.7)

В наших компактных обозначениях, использующих оператор «черта», последнее соотношение может быть переписано следующим образом:

(4.2.8)

Теперь мы можем использовать член, описывающий взаимодействие, для того, чтобы получить амплитуды для рассеяния при обмене гравитоном.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление