Главная > Физика > Лекции по алгебре токов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА 5. МЕТОДЫ АЛГЕБРЫ ТОКОВ

В этой главе будет рассмотрен формализм, весьма полезный при выводе различных следствий из алгебры токов. Рассмотрим матричный элемент

где оператор некоторого тока, квантовые числа которого включены в индекс произвольный локальный оператор. В дальнейшем увидим, что аналогичные матричные элементы возникают в физических задачах. Сейчас же вопрос об интерпретации (5.1) оставим открытым. Умножим (5.1) на

и проинтегрируем по частям, отбросив поверхностные члены (не будем обращать внимание на протестующие крики пуристов). Учитывая, что приходим к уравнению

Первый член в правой части содержит дивергенцию тока, которая определяется с помощью РСАС, а второй член содержит одновременной коммутатор, т. е. как раз то, чем занимается алгебра токов.

Если оператор тока, то по аналогии с (5.1) можно рассмотреть матричный элемент

Тогда аналогом (5.2) будет выражение

Можно рассматривать как амплитуду следующего «процесса»: ток ток где импульс «падающего» тока, а

импульс «рассеянного» тока. Для некоторых дальнейших приложений полезно обсудить уравнение

Воспользовавшись трансляционной инвариантностью, первый член в правой части представим в виде

Как и раньше, выполним Интегрирование по частям. Вновь воспользовавшись трансляционной инвариантностью, находим

Наконец, рассмотрим амплитуду

где символ означает -произведение. Применив ту же процедуру, легко получить

Некоторые важные приложения алгебры токов (правило сумм Кабиббо-Радикати для рассеяния Комптона, правило сумм Адлера для нейтринных реакций, соотношение Адлера Вайсбергера для пион-нуклонного рассеяния) можно получить непосредственно, используя приведенные формулы. Для этого рассмотрим амплитуду определенную уравнением (5.3), в специальном случае, когда состояния тождественны и соответствуют одночастичному адронному (скажем, протонному) состоянию с импульсом

Тогда из (5.5) следует, что Кроме того, если адрои обладает спином, будем под понимать амплитуду, усредненную по спину. Различные приложения, к которым сейчас следовало бы перейти, отличаются только видом токов и интерпретацией некоторых основных результатов. Но продолжим пока изучение формализма, оставив приложения на будущее. Во всех рассматриваемых случаях будет током, повышающим заряд, а ему сопряженным. Для краткости запишем Тогда амплитуда примет вид

Так как под понимается амплитуда, усредненная по спину адронного состояния то тензор, зависящий только от импульсов Следовательно, его можно представить в виде

где коэффициенты скалярные функции от двух инвариантных переменных — «массовой» переменной и энергии тока в Л-системе:

Заметим, что функция отлична от нуля только при нарушении четности из-за интерференции аксиальной и векторной компонент токов.

Обратимся теперь к уравнению (5.4) и разложим первый член в правой части, согласно формуле

где скалярные функции переменных Уравнение (5.4) содержит также одновременной коммутатор, для его определения привлечем гипотезы алгебры токов. Будем рассматривать в дальнейшем процессы с равными и

Напомним некоторые соотношения алгебры токов:

Можно также отметить соотношения:

но они здесь не встретятся, так как мы усредняем по спину и, следовательно, Наконец, заметим, что

где гиперзаряд и изоспин адрона. Следовательно, во всех обсуждавшихся случаях член с одновременным коммутатором в (5.4) можно записать в виде

где константа С зависит от конкретной ситуации. Теперь подставим (5.10), (5.11) и (5.16) в уравнение (5.4), которое на самом деле приводит к двум уравнениям: одно для коэффициента при другое для коэффициента при Из первого получаем соотношение

Напомним, что зависят от тогда как С — константа, которая определяется коммутационными соотношениями.

Теперь воспользуемся основным предположением формализма. Функции удовлетворяют дисперсионным соотношениям по V при фиксированном пространственно-подобный вектор). Предположим, что все три функции удовлетйоряют дисперсионным соотношениям без вычитаний. Например,

и аналогично для Но в соотношении (5.17) функция А входит с множителем В пределе функции не вносят вклада в (5.17), и поэтому

Это основной результат.

Абсорбтивная часть задается выражением

и ее тензорное разложение находится в прямом соответствии с уравнением (5.10):

Раскладывая по полной системе состояний получаем

При вносит вклад только первый член, а при только второй. Введем теперь новый матричный элемент

отличающийся от только перестановкой токов, с тензорным разложением, аналогичным (5.10), но с заменой Абсорбтивная часть есть

раскладывая ее аналогично (5.21), находим, что

поэтому, в частности,

Таким образом, правило сумм (5.18) можно записать в виде

Этот же результат можно получить, если прдвести рассуждения для «нечетной» по изоспину амплитуды: Поэтому предположение о безвычитательных дисперсионных соотношениях достаточно сделать только для этой амплитуды. Модель полюсов Редже согласуется с этим предположением.

Теперь скажем несколько слов о методе системы с бесконечным импульсом. Уравнение (5.18) или эквивалентное ему уравнение (5.26) является важным результатом. Поэтому обсудим его подробнее. Начнем с абсорбтивной части амплитуды определенной

(5.19), и проинтегрируем ее по оставляя трехмерные вектора фиксированными. Используя равенство

находим

где для удобства выражение поделено на Теперь выберем нулевые компоненты как для индекса так и тогда, используя (5.16), получим

где

Скалярные функции зависят от переменных

Выберем систему, где так что

Преобразуя (5.27) в интеграл по имеем

где

При интегрировании по величина сама меняется, и при Однако еще осталась свобода в выборе системы отсчета. Предположим, что мы выбрали систему с бесконечным импульсом мишени Сделаем теперь предположение, что переход к пределу можно осуществить до взятия интеграла в (5.30). Это означает, что для каждого фиксированного следует найти предел при и только затем проинтегрировать по Если такая процедура законна, тогда в (5.30) остается только член с Более того, и не зависит от

Таким образом, мы получаем прежний результат

в котором интегрирование по производится при фиксированном

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление