Главная > Физика > Лекции по алгебре токов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА 7. ОБОБЩЕНИЕ ФОРМУЛ АДЛЕРА—ВАЙСБЕРГЕРА

7.1. Пион-нуклонное рассеяние

Формула Адлера — Вайсбергера в том виде, как она представлена в (6.35), есть правило сумм. Однако ее можно записать также в виде низкоэнергетической теоремы для амплитуды -рассеяния. Рассмотрим антисимметричную амплитуду:

где амплитуды упругого и -рассеяния.

Предположим, что можно продолжить за массовую поверхность -мезона, как не раз делалось раньше. В конечном счете получим интересный результат для предела (здесь масса -мезона). Потребуем, Чтобы было действительным и При фиксированном является аналитической функцией в плоскости с полюсами при и разрезами вдоль действительной оси при Амплитуда нечетная функция т. е. по-видимому, удовлетворяет дисперсионному соотношению без вычитаний. Вообще говоря, из-за нечетности в точке амплитуда должна зануляться. Но в специальном случае есть тонкость, связанная с движением полюсов к началу координат. Эти полюсы возникли из-за нейтронного промежуточного

состояния. Неопределенность можно разрешить, если учесть разность масс между Нейтроном и протоном. Выделив отдельно полюсной член, получим для соотношение

в котором порог начинается с Отсюда следует, что

Сравним (7.3) с (6.35), используя для соотношение РСАС: Тогда правило сумм (6.35) превращается в низкоэнергетическую теорему

Получим этот же результат непосредственно. Вернемся к уравнению (5.6) с . Рассмотрим токи Для тренировки будем теперь работать с изотопическими индексами в действительном базисе. С помощью РСАС-определения пионного поля первый член в правой части (5.6) связывается с амплитудой для пион-нуклонного рассеяния вперед, с индексами для начального и конечного -мезонов:

Уйдем теперь с массовой поверхности, опустив требование и перейдем к пределу оставляя члены только первого порядка по Это означает, что члены не учитываются, а в разложении по следует оставить только линейный член. Тогда первый член в правой части (5.6) заменяется на Левая же часть (5.6) из-за введения конечной разности масс между протоном и нейтроном имеет второй порядок по ею пренебрегаем. Второй член в правой части — хорошо известный одновременной коммутатор

Наконец, третий член в правой части (5.6) включает одновременной коммутатор тока с дивергенцией тока. Он не задается стандарт ной алгеброй токов и должен рассматриваться как

модельно-зависимый. Тем не менее нечто полезное все же можно сказать об этих так называемых -членах. Очевидно, третий член четен по вектору следовательно, в первом порядке не зависит от

Первое равенство можно получить, воспользовавшись трансляционной инвариантностью и сделав замену переменных:

Второе — теорема Гаусса; здесь вновь использована трансляционная инвариантность. Далее:

Второй член в правой части есть отсюда,

Однако матричный элемент в правой части не зависит от времени. Следовательно,

Разложим пион-нуклонную амплитуду на

Антисимметричная амплитуда не содержит вклада от сочлена. Отсюда находим что с учетом соотношения согласуется с (7.14). Точка нефизическая для реальных пионов. Чтобы применить полученную низко-энергетическую теорему к реальному миру, необходимо продолжить амплитуду в точку используя дисперсионные соотношения, которые возвращают к правилу сумм Адлера — Вайсбергера.

Существует и другой подход. Предположим, что это выражение для в точке справедливо вплоть до порога физического пион-нуклонного рассеяния, т. е.

Точные дисперсионные соотношения на массовой поверхности имеют вид

Положим опустим поправки порядка а в знаменателе пренебрежем мезонной массой. Тогда

Сравнив с (6.35) и положив получим, что этот результат совпадает с (7.10).

Пороговую формулу (7.10) можно переписать в виде предсказаний для величин -волновых длин рассеяния. Для этого воспользуемся соотношениями

Индексы в последнем равенстве относятся к изоспину. При таком подходе получаем для длин -рассеяния

На опыте т. е. согласие вполне удовлетворительное.

До сих пор алгебра токов и РСАС использовались для получения предсказаний для нечетной амплитуды. Обратимся к изотопически-четной амплитуде Ее значение на пороге определяется -членом (7.7). Однако из условия самосогласованности Адлера (4.27) следует, что исчезает в точке Малые сдвиги от до порога должны приводить к неопределенностям порядка где масса протона. Следовательно, можно ожидать, что величина -члена того же порядка. Обобщим результаты на пороговое поведение амплитуд рассеяния -мезонов на произвольной массивной мишени [16]. Систематически пренебрегая -членом, легко найти, что

Здесь оператор изотопического спина в -пространстве пионов; то же самое в изотопическом пространстве мишени Пусть изотопический спин мишени.

Тогда пороговое значение амплитуды для рассеяния в состоянии с полным изоспином равно

Аналогично для длины рассеяния

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление