Главная > Физика > Лекции по алгебре токов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7.2. Подход Вайнберга к пи-пи-рассеянию

При обсуждении формулы Адлера — Вайсбергера предполагалось, что результат, полученный для в точке применим и на пороге, т. е. мало изменяется от точки до порога который является ближайшей к физической доступной точкой. Можно сказать, что мы разложили в ряд по степеням и определили с помощью алгебры токов и РСАС линейный член, а далее предположили, что разложение до первого порядка достаточно точно описывает амплитуду вплоть до порога. Вайнберг привел аргументы в пользу именно такого подхода [16]. Действительно, наиболее интересные результаты получаются в пределе нулевого импульса -мезона. Причем не только масса, но и другие величины принимают нефизические значения. Разложив амплитуду по степеням с помощью алгебры токов и РСАС можно найти коэффициенты первых членов разложения. Далее необходимо предположить, что первые члены — действительно хорошее приближение к амплитуде вплоть до порога, где инвариантные переменные, содержащие «малы», насколько это допускается кинематикой. В -рассеянии было выполнено разложение до первого порядка по

Особо интересное приложение эти идеи нашли в работе Вайнберга по -рассеянию. Рассмотрим реакцию где импульсы пионов, а изотопические индексы. Если рассматривать все пионы на равном основании, то амплитуда должна раскладываться по степеням всех импульсов, при этом возникнут только четные степени. До каких пор следует проводить разложение? Очевидно, до тех пор, пока коэффициенты можно определить, и не далее.

Введем обычные мандельстамовские переменные:

Возе-статистика, кроссинг и изотопическая инвариантность приводят к следующей структуре амплитуды рассеяния, разложенной до второго порядка по импульсам:

где константы, не зависящие от импульсов. Проверим, удовлетворяет ли это выражение бозе-симметрии. Действительно, при замене амплитуда переходит сама в себя. Аналогично кроссинг-симметрия требует, чтобы амплитуда была четной по отношению к замене . Это свойство также выполняется.

Интересно, что (7.16) не зависит явно от массовых переменных за исключением того, что Выразим теперь -волновые длины рассеяния (I — полный изотопический спин) через Легко получить:

Попытаемся определить коэффициенты Введем амплитуду

и обратимся к уравнению (5.6). Первый член в правой части с точностью до множителя совпадает с -амплитудой Третий член справа — это -член симметричный по индексам при Положим но оставим на массовой поверхности. В первом порядке по левой частью уравнения (5.6) можно пренебречь, так как полюсные члены не дают вклада в -рассеяние. Второй член справа — хорошо известный коммутатор

Таким образом, при в первом порядке по имеем

Но в этом порядке

Первый член в правой части (7.18) антисимметричен по индексам тогда как симметричен. Сравнивая антисимметричные

части уравнений (7.16) и (7.18) и используя (7.19), находим

Из уравнения (7.17) следует, что

Рассмотрим, к чему приводит условие самосогласованности Адлера. Оно утверждает, что амплитуда должна исчезать, если импульс одного из пионов стремится к нулю, а остальные находятся на массовой поверхности. Кинематически это соответствует точке Из условия самосогласованности следует, что

Для завершения анализа необходимо еще одно соотношение. Вайнберг ввел новое физическое предположение, касающееся -члена в (7.18). При на массовой поверхности и в нулевом порядке по -член симметричен по индексам Вайнберг предположил, что он вообще пропорционален . Это предположение справедливо по крайней мере в -модели Гелл-Мана и Леви. Таким образом, в нулевом порядке по имеем

Тогда из уравнения (7.16) следует, что

Отсюда можно найти

а для длин рассеяния

Определение длины данное в (7.20), получено с помощью соотношения Фактически больше приблизительно на 10%, поэтому если использовать значение то уменьшается приблизительно на Но довольно грубая теория, и не стоит придавать этому различию большого значения. В рассмотрении Вайнберга важно то, что оно приводит на первый взгляд к удивительно малым длинам рассеяния. К сожалению, прямая проверка этого факта возможна только в отдаленном буду Возможность косвенного определения -рассеяния, например, с помощью экстраполяционной процедуры для -реакции широко обсуждалась в литературе. Но

оказывается, что этот метод мало подходит для определения -рассеяния в области низких энергий, которые нас интересуют. Измерить более точно параметры -рассеяния можно при анализе структуры спектра в -распаде; эти сложные эксперименты находятся на стадии подготовки в нескольких лабораториях.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление