Главная > Физика > Лекции по алгебре токов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА 8. ПОЛУЛЕПТОННЫЕ РАСПАДЫ

В приложениях алгебры токов к комптоновскому рассеянию и нейтринным реакциям токи проявлялись как токи взаимодействия. При выводе формулы Адлера-Вайсбергера токи вошли только из-за РСАС. В других случаях одни токи входят как токи взаимодействия, другие же только через РСАС для описания мягких пионов. Реакция фоторождения тесно связанная с ней реакция электророждения — очевидные примеры, когда пион можно считать мягким. Такие процессы широко обсуждались в литературе. Их обзор занял бы слишком много места. Вместо этого рассмотрим два примера слабых распадов:

8.1. Распад ...

Для определенности рассмотрим реакцию Пусть импульсы и -мезона. В этой реакции участвует только векторный ток с изменением странности Поэтому амплитуда распада выражается как

Адронный матричный элемент имеет структуру

где форм-факторы скалярные функции переменной Если определить амплитуду за массовой поверхностью, то форм-факторы будут также зависеть от массы пиона

Действительно, с учётом РСАС-определения поля -мезона и стандартной редукционной формулы ЛШЦ можно написать

Опустим значок и используем написанное выражение для определения амплитуды вне массовой поверхности. Интересные результаты могут быть получены только в нефизическом пределе Действительно, как и в (5.3), введем выражение

и заметим, что из (5.4) следует, что

В пределе левая часть исчезает (здесь нет вклада полюсных членов) и

Но

есть адронный матричный элемент, который появляется в -распаде; параметр играет здесь ту же роль, что и в распаде Таким образом, рассматривая -форм-факторы как функции импульсов К и -мезонов, находим:

Это основной результат стандартного РСАС-подхода к распаду Остается, однако, вопрос об интерпретации этого результата. Проблема привлекает большое внимание. С нашей точки зрения, она очень важна, так как рассуждения, ведущие к (8.5), просты и вполне в духе алгебры токов и РСАС. Интересно, что при наиболее естественной интерпретации результат (8.5) противоречит современным экспериментальным данным.

Форм-факторы — скалярные функции Но в реальном мире фиксированы; таким образом, есть только одна физическая переменная величина, в качестве которой обычно выбирают квадрат переданного импульса Однако форм-факторы были продолжены за массовую оболочку и стали зависеть от массовой переменной Форм-факторы как функции были оценены в точке Эта точка — нефизическая по обеим переменным, так как физическая область определяется значениями Однако форм-факторы — аналитические функции и их можно продолжить в точку т. е. можно считать известными. Однако для уравнения (8.5) требуются До тех пор пока не установлено, как величины вне массовой поверхности связаны с величинами на массовой поверхности, уравнение (8.5) не имеет смысла. Для этой цели воспользуемся гипотезой РСАС, которая утверждает, что форм-факторы слабо зависят от Возникает желание положить т. е. вообще пренебречь зависимостью форм-факторов от Но действительно ли форм-факторы слабо зависят от при фиксированном или следует фиксировать какую-нибудь другую переменную, скажем, Если физические форм-факторы слабо изменяются при изменении (в интересующей нас области), то они, конечно, будут слабо изменяться по или любой другой переменной. В таком случае выбор переменных безразличен с точки зрения РСАС. Если же форм-факторы изменяются быстро, то выбор переменных становится существенным и РСАС теряет смысл. При изучении форм-факторов обычно используется линейная параметризация данных

Однако пока нет веских причин полагать, что линейная подгонка удовлетворительна, и этот вопрос до конца не ясен. Для параметр наклона равен примерно Это небольшое значение, тем не менее оно приводит в к изменениям порядка 40% при возрастании от нуля до Для параметр наклона определен гораздо хуже, но экспериментальные данные согласуются с неравенством

Примем линейную параметризацию (8.6). Предположим также, что форм-факторы слабо меняются по при фиксированном (что еще более сомнительно), т. е. применим РСАС, когда в качестве переменных выбраны Тогда уравнение (8.5) переходит в (8.7):

где

Напомним, что Полная амплитуда -распада содержит кабибовский множитель Но такой же множитель есть и в распаде. Следовательно, отношение экспериментально измеримо с точностью до знака независимо от кабиббовского множителя. С другой стороны, из -распада можно найти Кабиббовский угол мал и довольно точно измерен, так что не чувствителен к оставшимся неопределенностям. Итак, правая часть (8.7) хорошо известна (с точностью до знака). Теперь в пределе строгой -симметрии и, следовательно, Тогда правая часть (8.7) равнялась бы единице. Экспериментально это значение порядка 1,28, и можно верить в настолько, чтобы принять, что знак действительно положителен. Таким образом:

Если теперь принять, что , то уравнение (8.7) приводит к значению ( Эксперименты [18], однако, согласуются со значением

Может случиться, что это большое различие исчезнет: параметр определенный из (8.7), весьма чувствителен к значениям параметров наклона и к предположению о линейной экстраполяции (8.6). Если же это значительное различие сохранится, то Справедливость алгебры токов становится сомнительной — по крайней мере в той части, которая используется в -распаде. Наиболее вероятно, что под сомнением окажется прежде всего РСАС. Неоднократно подчеркивалось, что понятие РСАС нельзя ввести с любой степенью точности. Действительно, без всяких изменений в основной идее можно получить для -распада другие предсказания. Примем, что предполагаемая. гладкость в экстраполяции за массовую поверхность имеет место, когда фиксирована некоторая величина, отличная от например где некие константы. Простая арифметика показывает, что тогда в левой части (8.7) появляется поправочный множитель Таким образом, при или отличных от нуля, ответ зависит от выбора переменных. Для уверенности в правильности результатов необходима какая-то разумная идея. Обычно считают, что следует выбирать переменные так, чтобы другие сингулярности в плоскости (за исключением пионного полюса) были «отдалены», насколько возможно. Но такой выбор трудно сделать в общем виде. Удачное решение, найденное для одной задачи, обычно не подходит для других.

Выбор переменных — одна из неопределенностей. Но существуют и другие, возможно более глубокие, неопределенности. Вернемся к случаю пион-нуклонного рассеяния вперед:

Используя выбор пйонного поля по РСАС, можно легко представить амплитуду в виде

Это выражение точное на массовой поверхности но мы используем его для определения амплитуды вне массовой поверхности, предполагая, что она медленно меняется между то же время можно перейти к окончательной формуле в две ступени. Определим

На массовой поверхности это выражение также правильно и Но вне массовой поверхности и не совпадают, хотя каждое из выражений соответствует идеям РСАС. В точке эти два выражения отличаются только на -член:

Разумеется, такое различие не имеет большого значения для пион-нуклонного рассеяния (так как -член мал). Но если бы разность была значительной, то встал бы вопрос, по какому же пути следовать. Напомним, что в рассмотрении Вайнбергом -рассеяния -член был важен.

Аналогичные Неопределенности появляются и в -распаде. Мы определили амплитуду вне массовой поверхности с помощью (8.2) и пришли к интересным результат для комбинации в пределе Рассмотрим теперь скалярную амплитуду:

Согласно стандартной редукционной формуле,

в которой для физических амплитуд следует перейти к пределу Однако опустим это требование и построим внемассовое продолжение на основе этого выражения. Из уравнения (5.2) в пределе находим

В отличие от прежней процедуры, мы теперь продолжили за массовую поверхность другие комбинации иным способом. Мы получили предсказание для величины

где индекс напоминает, что вне массовой поверхности форм-факторы, определенные здесь, не обязаны совпадать с форм-факторами, определенными ранее, хотя на массовой поверхности они должны быть согласованы. Так как комбинация, приведенная выше, очень близка к имеем

Не говоря уже о проблеме выбора переменных, остается вопрос, какие из величин или гладко продолжаются за массовую поверхность.

Процедура, ведущая к (8.5), имеет то преимущество, что правая часть определяется с помощью стандартных гипотез алгебры токов. В то же время правая часть (8.15) не определяется ни алгеброй токов, ни другими общими теориями. Но можно надеяться, что она имеет «правильное» значение Если бы существовал некоторый независимый способ определения правой части и он давал бы «неправильное» значение, тогда пришлось бы либо делать выбор между альтернативами, либо оставить эксперименту право выбора, либо предложить новые возможности.

Как уже отмечалось, коммутатор в (8.15) не входит в обычный аппарат алгебры токов. Но некоторые идеи, имеющие к нему отношение, активно обсуждаются в настоящее время. Обсуждение всех деталей увело бы нас слишком далеко в сторожу. Но все же

напомним, что алгебра векторных зарядов и аксиальных зарядов связана с группой заряды коммутируют между собой как генераторы ; то же справедливо для но одновременные коммутаторы равны нулю. Если бы сильные взаимодействия были инвариантны относительно то эти заряды сохранялись бы, а симметрия проявлялась как в существовании партнеров с противоположной четностью для всех частиц, так и в наличии октета безмассовых (голдстоуновских) бозонов. Хотя реальный мир не обладает, конечно, -симметрией, можно надеяться, что некоторые «следы» симметрии все-таки сохранились.

Гелл-Ман [20] предположил, что гамильтониан сильных взаимодействий содержит инвариантную часть и часть нарушающую симметрию (возможно, очень сильно), но имеющую простую структуру. Именно, он предположил, что

где числовые параметры, а операторы, принадлежащие одному мультиплету скалярных операторов, которые преобразуются по отношению к по представлению Оператор сохраняет обычную -симметрию, тогда как преобразуется как восьмая компонента -октета. Мультиплет содержит всего 18 членов: девять скалярных операторов и девять псевдоскалярных операторов Трансформационные свойства определяют одновременные коммутаторы зарядов с например

Не будем выписывать здесь все коммутационные соотношения. Отметим только, что в отсутствие взаимодействий с производными теперь можно определить дивергенции токов:

Из коммутационных соотношений можно найти, в частности:

Используя совместно эти результаты и учитывая, что

находим выражение для правой части уравнения (8.15):

Чтобы удовлетворить (8.5), нужно потребовать

Но при таком выборе параметров уравнение (8.18) и основные коммутационные соотношения приводят к равенству Это означает, что отношение определенное в (8.23), соответствует инвариантности по отношению к подгруппе и аксиальные токи с сохранением странности имеют нулевую дивергенцию. Реальный мир, конечно, не совсем таков. Но вернемся к знакомому соотношению

где в правой части появляется квадрат массы пиона. Пион — самый легкий из адронов, поэтому можно считать, что дивергенции аксиальных токов действительно малы, если совсем не исчезают. Таким образом, соотношение (8.23) обычно считается достаточно хорошим приближением -симметрии. Однако предположим, что все это неправильно и что нарушена сильнее, чем В этом случае правая часть уравнения (8.15) близка к нулю! И уравнение (8.15) приводит к Таким образом, при сильном нарушении -симметрии [по отношению к ] два подхода к распаду описанные здесь, приводят к совершенно различным результатам. Результат, содержащийся в (8.22), основан на специальной модели нарушения -симметрии, а в рамках модели количественные предсказания зависят от параметра который можно априори выбрать свободно. Очевидно, необходимы независимые доказательства для обоих подходов. В нашу задачу не входит сделать здесь выбор между (8.5) и (8.15) или фиксировать параметры в (8.15). Однако следует вновь подчеркнуть, что в понятии РСАС отсутствует четкость.

8.2. Распад ...

Обсудим распад В этот процесс дают вклад как аксиальная, так и векторная часть тока с изменением странности. Структура соответствующих адронных матричных элементов имеет вид:

Форм-факторы скалярные функции импульсов таким образом, они зависят от трех физических переменных, скажем Однако так как вскоре мы уйдем с массовой поверхности по пионным массам, то будут зависеть также и от массовых переменных

Все неопределенности РСАС, мешавшие нам в -распаде, проявляются также и в и по отношению к выбору переменных (здесь их еще больше) и к способу продолжения за массовую поверхность. Не будем вновь указывать на необходимые предосторожности и обходные пути. Но так как в -распаде участвуют два пиона, то возникают некоторые особенности. Можно трактовать как мягкий либо один пион, либо другой, либо оба; именно на этом следует специально остановиться. Матричный элемент векторного тока (8.25) исчезает, когда любой из пионов имеет нулевой импульс, и нельзя ничего узнать о нем нашими методами. Поэтому обратимся к матричному элементу аксиального тока. Как и прежде, встает вопрос, применять ли РСАС к этому матричному элементу или к другому, содержащему дивергенцию аксиального тока. Будем идти традиционным путем [17]. Нужно, однако, помнить, что альтернативная процедура априори ничуть не хуже.

Определим амплитуду

и заметим, что на массовой поверхности Воспользуемся (8.26) для определения продолжения за массовую поверхность для -мезона, оставив -мезон на массовой поверхности. Стандартным методом легко найти, что в пределе

Но коммутатор в правой части равен нулю! Отсюда получаем

Теперь определим матричный элемент:

который позволяет сделать продолжение за массовую поверхность -мезона. В пределе находим

Последний шаг следует из изотопической инвариантности и приводит к матричному Элементу для -распада с равным импульсу -мезона. Таким образом,

Если то имеет совершенно различные значения в двух пределах . В то же время наш результат по крайней мере совместен с требованием, чтобы были медленно меняющимися функциями своих аргументов. При умножении адронного матричного элемента на лептонный легко найти, что форм-фактор умножается на лептонную массу. Следовательно, совершенно неизмерим в распадах и экспериментально о нем ничего не известно. Что касается то в самом грубом приближении будем считать их константами [пренебрегая малыми изменениями по переменной

Отсюда

Имеющиеся экспериментальные данные плохо согласуются с этим предсказанием, скажем на уровне 50%. Хотя ничего неизвестно о форм-факторе разные предсказания для разных пределов, которые обсуждались выше, требуют объяснения, хотя парадокса, вообще говоря, нет. Такое объяснение дал Вайнберг опять в рамках алгебры токов и РСАС. Он принял во взимание

дополнительную информацию, которую можно получить, когда оба пиона становятся мягкими. Не развивая довольно сложную технику, необходимую для такого анализа, разберем сущность подхода Вайнберга более наглядно. В действительности резкая зависимость от импульсов и проявляющаяся в возникает из-за приведенной фейнмановской диаграммы (рис. 5). В вершине, где виртуальный мезон взаимодействует с током присутствует множитель где импульс виртуального -мезона. Эта диаграмма дает вклад только в форм-фактор . К-мезонный пропагатор вносит фактор и в пределе, когда оба импульса малы, пропорционален

Рис. 5.

Вершину можно рассмотреть с помощью методов алгебры токов и РСАС. Как следует из условия самосогласованности Адлера, -мезоны входят в вершину в -волне. Следовательно, эта вершина содержит фактор, пропорциональный

Тогда в пределе диаграмма вносит в вклад

где некоторая константа. Заметим, что эта функция формально нулевого порядка по импульсам, но все же зависит от импульсов. Неполюсные же диаграммы в нулевом порядке по импульсам дают постоянный вклад. Таким образом,

Константы можно теперь подобрать так, чтобы связать это выражение с результатами, полученными ранее в двух разных пределах Так, можно найти выражение для которое является «интерполяцией» между этими пределами. Действительно, легко получить [21]:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление