Главная > Физика > Лекции по алгебре токов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА 2. КАНОНИЧЕСКИЕ И ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫЕ ОГРАНИЧЕНИЯ В АЛГЕБРЕ ТОКОВ

2.1. Каноническая теория токов

Любая теория поля описывается плотностью лагранжиана X, который мы считаем функцией набора независимых полей и их первых производных Канонический формализм основан на следующих одновременных коммутаторах :

Здесь временная компонента канонического -импульса

Уравнения Эйлера — Лагранжа имеют вид

Рассмотрим теперь бесконечно малое преобразование полей считая, что явный вид известен. Интересно выяснить, при каких условиях на лагранжиан это преобразование будет операцией симметрии теории. Для этого надо рассмотреть, как меняется X при преобразовании:

Если окажется, что и без явного использования уравнений движения полная производная некоторого объекта

то действие не меняется и преобразование является операцией симметрии теории. В этом случае можно ввести сохраняющийся ток следующим образом. Используя явно уравнение движения (2.3), выражение для можно переписать в альтернативном виде независимо от того, имеем мы дело с операцией симметрии или нет. Из (2.3) и (2.4) следует

Сравнивая (2.6) с (2.5), получаем

Так что

сохраняющийся ток.

Возможны два различных случая. Если то говорят о внутренней симметрии, в противном случае — о пространственно-временной симметрии [2]. Пример первой симметрии — -токи. Гелл-Мана:

где Т — матрица генератора группы, и предполагается, что поля преобразуются по определенному представлению. Индекс а обозначает различные матрицы группы внутренней симметрии. Ток, отвечающий внутренней симметрии,

Примером пространственно-временной симметрии может служить трансляция:

Соответствующая трансляции сохраняющаяся величина есть канонический тензор энергии — импульса:

В последующем символ и термин «ток» будем использовать для внутренних симметрий.

Ясно, что ток (2.9), хотя он и не сохраняется, можно определить и тогда, когда преобразование (2.8) не будет операцией симметрии. В силу канонических коммутационных соотношений плотность заряда удовлетворяет модельно-независимым ОВК независимо от того, сохраняется ток или нет [3]:

Здесь использовано групповое свойство матриц преобразования

Аналогично заряды

являющиеся лоренцевыми скалярами для сохраняющихся токов, есть генераторы соответствующих преобразований полей даже при несохраняющихся токах:

Следует отметить, что хотя как сохраняющиеся, так и несохраняющиеся токи и заряды внутренних симметрий удовлетворяют и (2.15), для пространственно-временных токов в общем случае не существует коммутаторов, которые были бы нечувствительны к сохранению тока (см. упражнение 2.5).

Соотношения (2.12) и (2.15) были получены без обращения к какому-либо специфическому лагранжиану 56, т. е. без всяких динамических ограничений. Складывается впечатление, что они справедливы всегда и что любое их следствие с необходимостью правильно. Однако уравнения (2.12) и (2.15) были получены формально, без учета всех трудностей локальной квантовой теории. Так, мы совсем не заботились ни о том, существуют ли произведения двух операторов в совпадающих точках пространства — времени, ни о том, существуют ли одновременные пределы коммутаторов при разных временах в (2.1), (2.12) или (2.15). Как будет видно, источники всех неудачных предсказаний алгебры тока — именно эти проблемы.

Несколько слов о несохраняющихся токах. В приложениях алгебры несохраняющихся токов приходится делать предположение и о дивергенциях токов. Чаще всего предполагается, что «гладкий» оператор, хотя точное определение «гладкости» и зависит от конкретной задачи. В дальнейшем будет детально рассмотрено понятие «гладкости», а сейчас ограничимся определением, относящимся к несохраняющимся токам, которые будут обсуждаться. Размерность тока в единицах массы равна 3. Это следует из безразмерности заряда, являющегося пространственным интегралом компоненты тока. Следовательно, имеет размерность 4. Однако если динамика теории такова, что все операторы, возникающие в имеют размерность меньше чем 4, будем говорить, что ток — «частично сохраняющийся» и «гладкий». В качестве конкретного примера рассмотрим аксиальный ток, построенный из фермионных полей, и предположим, что фермионы удовлетворяют уравнению движения

Здесь векторное и псевдоскалярное бозонные поля соответственно. Размерность фермионного поля равна 3/2, а размерность

бозонного поля 1. Это видно из лагранжиана, который всегда имеет размерность 4, так как действие безразмерно. Лагранжиан фермионов содержит , производная имеет размерность 1, так что размерность равна 3 и размерность равна 3/2. Лагранжиан бозонов содержит член две производные имеют размерность 2 и, следовательно, имеет размерность 1. Очевидно, что дивергенция в этой модели равна

Размерность равна 3, а размерность равна 4. Поэтому является частично сохраняющимся током только в отсутствие псевдоскалярной связи.

Хотя модельно-независимые коммутаторы для нулевых компонент токов были получены из теории канонических преобразований, использование их для физических предсказаний требует неявных динамических предположений, смысл которых будет сейчас выяснен. Дело в том, что в рамках теории преобразований всегда можно добавить к каноническому току дивергенцию антисимметричного тензора:

Подобные добавки, называемые «Суперпотенциалами», не меняют заряды. (Сохранение тока обеспечивается антисимметрией суперпотенциала. То, что суперпотенциалы не дают вклада в заряды, видно из следующего: Может оказаться, что модифицированные токи имеют больший физический смысл, чем канонические. Такова ситуация с тензором энергии — импульса. По причинам, которые сейчас обсудим, каноническое выражение (2.11) обычно заменяется симметричной формой Белинфанте (см. упражнение 2.3):

Модифицированные токи имеют в общем случае коммутационные соотношения, отличные от приведенных выше канонических. Поэтому, настаивая именно на канонических коммутаторах, а не на каких-либо других, фактически предполагаем, что канонические токи обладают выделенным физическим значением. Выделенность канонических токов можно усмотреть в том, что электромагнитные и слабые взаимодействия (это сейчас кажется хорошо установленным) определяются каноническими электромагнитными и -токами соответственно. Физическая выделенность тензора Белинфанте следует из предположения о том, что гравитационное взаимодействие описывается общей теорией относительности Эйнштейна. В. этой теории гравитоны связаны именно с а не с (при обсуждении масштабных преобразований в гл. 7

будет Показано, что необходимо ввести новый, улучшенный тензор энергии импульса и что соответственно должна быть модифицирована теория гравитации). Можно построить общий формализм, основанный непосредственно на динамической роли токов. В нем можно вывести коммутаторы токов без обращения к теории канонических преобразований. Результаты получаются, конечно, те же самые, поэтому не будем останавливаться здесь на таком подходе.

В заключение этого раздела выпишем еще один коммутатор, который может быть получен каноническими методами (см. упражнение 2.4):

Отсюда следует важный вывод о том, что дивергенцию тока можно записать как коммутатор:

Формулы (2.18) и (2.19) не чувствительны к выбору и канонический тензор, и тензор Белинфанте ведут к одинаковьм результатам. Можно получить и другие модельно-независимые ОВК между специально выбранными компонентами и Не будем вдаваться в детали, которые можно найти в литературе [5].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление