Главная > Физика > Лекции по алгебре токов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.2. Пространственно-временные ограничения на коммутаторы

Хотя интересные физические результаты можно получить уже из алгебры плотностей зарядов (2.12), для приложений, которые будем изучать, требуются коммутационные соотношения и между остальными компонентами токов. Их уже нельзя вывести каноническим методом в модельно-независимой форме. Например, содержит [см. (2.9)], а зависимость от канонически-сопряженных величин в общем случае неизвестна и коммутаторы, содержащие не удается вычислить в общем виде.

Можно определить вид изучив пространственно-временные ограничения, следующие из того, что (2.12) предполагается выполняющимся в любой лоренцевой системе. Рассмотрим, например, проинтегрированный вариант соотношения (2.12) в случае сохраняющихся токов:

Действие преобразования Лоренца на (2.20) получается коммутацией обеих сторон равенства с генератором лоренцевых преобразований

Второе из равенств в (2.21а) следует из первого после использования тождества Якоби. Все коммутаторы с можно вычислить, так как коммутаторы с определяются однозначно тем, что — вектор:

Предполагая, что ток сохраняется, получаем

Локальным вариантом (2.22а) является коммутационное соотношение

В соотношение (2.226) добавлена производная -функции, а многоточие относится к возможным высшим производным -функции. Разумеется, все эти производные исчезают после интегрирования по х, так что (2.22а) сохраняется. Подобные градиентные члены в ОВК называются, как отмечалось выше, швингеровскими членами [6].

Можно получить новые ограничения, прокоммутировав локальный коммутатор (2.12) с или Наиболее сильные ограничения следуют, однако, после коммутации (2.12) не с или однократно проинтегрированными моментами а непосредственно с Рассмотрим поэтому

Если переписать левую часть с помощью тождества Якоби, то можно использовать (2.18) для вычисления Для сохраняющихся токов получается

Наиболее общая форма согласующаяся с (2.236), имеет вид (см. упражнение 2.6)

Таким образом, определен с точностью до одной производной -функции; все высшие производные отсутствуют. Остающийся ШЧ обладает симметрией (2.246). Позже будет показано, что он не может обращаться в нуль. Аналогичные выводы справедливы и для частично сохраняющихся токов, если дивергенция тока достаточно гладкая и не возникает никаких ШЧ после коммутации дивергенции с

Изложенными методами можно получить еще дополнительные ограничения на коммутаторы токов. Для этого надо воспользоваться тождествами Якоби и модельно-независимьми коммутаторами между специально выбранными компонентами Не будем приводить все эти результаты, поскольку они представляют ограниченный интерес. Один из результатов, однако, достаточно красив, чтобы его упомянуть. Именно если где лоренцев скаляр, то вообще не содержат производных -функции [7].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление