Главная > Физика > Лекции по алгебре токов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.3. Пространственно-временные ограничения на функции Грина

Рассмотрим пространственно-временные ограничения на функции Грина и на тождества Уорда. Эти ограничения важны тем, что теоремы алгебры токов формулируются обычно для функций Грина — амплитуд рассеяния, амплитуд распада и т. д., а при наиболее удобном способе их вывода используются тождества Уорда» Рассмотрим -произведение двух операторов А и В:

Матричные элементы связаны с функциями Грина. Функции Грина должны быть лоренц-инвариантны, а может и не удовлетворить этому требованию из-за упорядочения по времени. В общем случае, чтобы сумма была инвариантной, к следует добавить еще один нековариантный член так называемый контактный член. Сумма упорядоченного по времени произведения с дополняющим его до ковариантного вида контактным членом называется -произведением:

При и должны совпадать, так что должен быть отличным от нуля лишь при следовательно, содержать и ее производные.

Выясним сейчас, при каких условиях нековариантно и как надо строить соответствующий контактный член. Затем рассмотрим условия, при которых выполняется предположение Фейнмана о взаимной компенсации контактных и швингеровских членов (смысл

предположения Фейнмана будет объяснен при более подробном его обсуждении). Для такого анализа необходимо знание

причем для простоты предполагается только один ШЧ. Аналогично можно легко учесть более высокие производные.

Наш анализ [8] основан на записи нековариантных выражений в явно ковариантном, но зависящем от системы отсчета виде. Вводятся единичный времениподобный вектор и пространственно-подобный проекционный оператор

В терминах вектора -произведение имеет вид

а ОВК соответственно вид

-произведение от не зависит:

Изменим теперь Так как вектор должен быть времениподобным, то разрешены только пространственно-подобные приращения Поэтому подействуем на (2.31) операцией

Первый член в (2.32) можно найти из (2.29):

Подставляя сюда коммутатор из (2.30), получаем

Отсюда видно, что, если ОВК соответствующих операторов содержит ШЧ, то -произведение нековариантно (зависит от

Для построения контактного члена (2.336) следует подставить в (2.32), что приводит к дифференциальному уравнению для

Можно сократить обе части равенства (2.34а) на проекционный оператор При этом, вообще говоря, можно добавить к обеим частям равенства произвольные члены, пропорциональные так как Однако само определено уравнением

(2.30) только с точностью до членов, пропорциональных пр. Поэтому

Решение уравнения (2.346) имеет вид

Таким образом, построен контактный член из швингеровского члена. Конечно, контактный член не является однозначно определенным: к нему можно добавить любой лоренц-ковариантный член Ниже увидим, как можно определить с помощью тождеств Уорда (можно показать, что лоренц-ковариантность обеспечивает независимость интеграла в (2.35) от пути интегрирования 18]).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление