Главная > Физика > Лекции по алгебре токов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.4. Пространственно-временные ограничения на тождества Уорда

Рассмотрим теперь случай, когда векторные операторы, например токи. Нас интересуют и -произведения этих величин:

(Здесь удобно ввести зависимость от координат.) В приложениях алгебры токов часто используются тождества Уорда для т. е. нужно знать выражение для

Для вычисления таких выражений необходимо знать явно которые возникают в дивергенции -произведения. Необходимо знать также дивергенцию контактного члена, входящую в дивергенцию -произведения. Выше было показано,

что в специфическом случае -токов, когда пропорциональный -функции член в явно известен. Однако пропорциональный градиенту -функции ШЧ не был найден [см. (2.12) и (2.24)]. Поэтому нельзя вычислить и контактный член, доопределяющий -произведение до ковариантного выражения.

При выводе тождества Уорда мы наткнулись на препятствие. Обойти его можно, используя предположение Фейнмана. Именно, заметим, что если бы не было градиентных членов в ОВК, то тогда и все контактные члены были бы равны нулю. В таком воображаемом случае можно вывести и тождество Уорда, поскольку все, что нужно, — это известный коэффициент при -функции. По предположению Фейнмана, такая «наивная» процедура приводит к правильному ответу. можно надеяться, что каким бы ни был ШЧ, связанный с ним контактный член обладает тем свойством, что его дивергенция всегда взаимно уничтожает вклад ШЧ в таким образом, остаются только члены, пропорциональные -функции.

Ясно, что гипотеза Фейнмана является фундаментальной для приложений алгебры токов. Перейдем к ее анализу [8]. Ниже будут сформулированы условия, при которых обеспечивается справедливость гипотезы. Позднее, при переходе к аномалиям, будет видно, что причина противоречий между явными расчетами и предсказаниями алгебры токов — именно невыполнение гипотезы Фейнмана.

Вернемся к обсуждению -произведения двух векторных операторов Запишем их коммутатор в общем виде:

Для контактного члена сохранятся написанные выше формулы:

Подставим теперь (2.38) в (2.37). Тогда получим

Для сохраняющихся токов из правой части (2.41) выпадает Остающиеся члены должны быть ковариантны,

так как -произведение в левой части обладает этим свойством. Следовательно, необходимо, чтобы

Здесь лоренц-ковариантные величины, не зависящие от Тот же результат получается и для частично сохраняющихся токов, если частичное сохранение понимать как гладкость оператора так что при его коммутации с не появляется ШЧ. В этом случае -произведение в (2.41) уже само по себе ковариантно и остающиеся члены удовлетворяют (2.42) и (2.43). Сходные результаты получаются и при вычислении дивергенции

Здесь также ковариантные величины, но не обязательно совпадающие с и Решение уравнения (2.42) можно записать в виде

В то же время из (2.43) и (2.45) следуют условия:

Уравнения (2.46) и (2.47) являются следующими из лоренц-ковариантности ограничениями, которым должны удовлетворять

При каких условиях, наложенных на ОВК, может выполняться предположение Фейнмана, т. е. когда вклады дивергенции контактных членов уничтожаются вкладами следовательно, в тождествах Уорда нет никаких градиентных членов? Очевидно, для этого в тождествах Уорда по индексу должны, согласно (2.41) и (2.43), отсутствовать градиенты -функции в следующей комбинации:

Аналогично из тождества Уорда по индексу вытекает, что не должны возникать градиенты -функции в

Уравнения (2.48 а, б) показывают, что всегда можно удовлетворить гипотезе Фейнмана хотя бы в одном из тождеств Уорда. Например, (2.48а) выполняется, если взять

Аналогично, чтобы удовлетворить (2.486), нужно положить

Однако в общем случае может оказаться невозможным удовлетворить обоим требованиям, поскольку система (2.48) может оказаться переопределенной и не иметь решения. Достаточным условием решения обоих уравнений (2.48) является отсутствие ШЧ в коммутаторе временных компонент токов. Это видно из (2.43) и (2.47). Тогда имеем

Левая часть равенства обращается в нуль, если нет ШЧ в ОВК временных компонент. Следовательно, (2.50) означает, что и два решения (2.49) тождественно совпадают, и оба тождества Уорда удовлетворяют гипотезе Фейнмана. [Можно сформулировать необходимые и достаточные условия существования решения уравнений (2.48) (см. [8]).]

Мы заключаем, что если алгебра временных Компонент, полученная каноническим методом и не содержащая ШЧ, выживает в полной теории, то можно удовлетворить гипотезе Фейнмана. Напротив, если ШЧ возникают в алгебре временных компонент, то гипотеза не удовлетворяется. Как будет видно, именно такова ситуация в проблеме распада

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление