Главная > Физика > Лекции по алгебре токов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.5. Швингеровские члены

В заключение обсуждения пространственно-временных ограничений на коммутаторы токов покажем, что ШЧ, которые могут возникать в не могут быть равны нулю. Для простоты изучим только сохраняющийся электромагнитный ток, так что групповых индексов нет.

Рассмотрим вакуумное среднее

где по определению член есть Он отличен от нуля только при следовательно, состоит из -функции и ее производных. Однако из (2.22) видно, что члена, пропорционального -функции, нет, так как Следовательно, отлично от нуля постольку, поскольку отличен от нуля ШЧ. Докажем сейчас, что имеет отличное от нуля вакуумное среднее и, следовательно, ШЧ существует [для большей общности обсуждения не будем использовать здесь конкретный вид полученный в (2.24)].

Чтобы начать анализ, продифференцируем (2.51) по у и используем сохранение тока:

Производная по времени может быть записана как коммутатор с гамильтонианом:

Раскрывая коммутаторы в (2.526), учли, что энергия вакуума равна нулю. Умножим теперь (2.526) на где произвольная вещественная функция, и проинтегрируем по х и у. Тогда получим

Правая часть (2.53) отлична от нуля. Дело в том, что оператор имеет в общем случае отличные от нуля матричные элементы между вакуумом и другими состояниями, имеющими с необходимостью положительную энергию:

(Вакуум не может быть собственным состоянием так как имеет равное нулю вакуумное среднее.) Таким образом, отлично от нуля и ШЧ не может исчезать [10]. Доказательство можно перенести и на несохраняющиеся токи, и, следовательно, ШЧ должны быть и в где а — любой индекс группы внутренней симметрии.

Существование ШЧ вызвало очень большой интерес, так как канонические вычисления ведут во многих случаях к исчезающему результату, который, как мы видели, противоречит другим свойствам локальной квантовой теории — положительности энергии и лоренц-ковариантности. Например, в спинорной электродинамике считается, что ток дается формулой и что, далее, дается формулой

А отсюда следует, что обращается в нуль. (С другой стороны, в скалярной электродинамике получается неисчезающий результат.) Аналогичные замечания относятся и к -кварковым токам: и здесь канонические вычисления ведут к исчезающим величинам.

Мы имеем дело с примером аномалии в коммутаторе. Исторически аномалии появились раньше, чем на них обратили внимание в алгебре токов. В свое время их игнорировали, так как предполагали,

что физические предсказания нечувствительны к ШЧ. При этом исходили в основном из обсуждавшегося здесь предположения Фейнмана. Теперь ясно, что это был неоправданный оптимизм.

Приведенное выше доказательство существования ШЧ ничего не говорит о том, является ли этот объект с-числом или оператором. Было доказано лишь то, что его вакуумное среднее отлично от нуля. Аргументация с помощью модельных расчетов также неубедительна. В скалярной электродинамике и -модели каноническими методами получается -число, в алгебре полей — с-число. В теориях, где канонические расчеты дают нуль, более тщательные оценки дают или квадратично расходящееся с-число в спинорной электродинамике, или -число в кварковой модели со скалярными глюонами, или с-число в кварковой модели с векторными глюонами.

Чтобы разобраться в природе ШЧ, надо обратиться к эксперименту. К сожалению, до сих пор найдены только крайне ограниченные возможности экспериментальной проверки. Вакуумное среднее ШЧ в коммутаторе электромагнитных токов можно выразить в терминах интеграла по полному сечению аннигиляции лептонов [12]. Недавно получено правило сумм, связывающее однонуклонный матричный элемент этой же величины с полным сечением электророждения [13]. В последнем случае проверяется, является ли электромагнитный ШЧ -числом. Предварительные анализы показывают, что он является с-числом и, что крайне вероятно, расходится квадратично. Экспериментальные данные о природе еще более скудны. Сейчас можно сказать только то, что кажущееся выполнение первого -правила сумм Вайнберга [14] — прямое указание на отсутствие члена с т. е. для векторных и аксиальных токов. Здесь

Правило сумм для вакуумного среднего ШЧ можно найти в литературе, поэтому не будем останавливаться на нем здесь (см. упражнение 3.2). Однопротонный матричный элемент ШЧ мы обсудим в гл. 5 в связи с правилом сумм Каллана — Гросса. Заметим, наконец, что существование неканонических структур, подобных ШЧ, было найдено и в ОВК между избранными компонентами (см. первые две работы в ссылке [4]).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление