Главная > Физика > Лекции по алгебре токов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА 3. ТЕОРЕМА БЬЁРКЕНА—ДЖОНСОНА—ЛОУ

Понять причины невыполнения формальных предсказаний алгебры токов можно, вычислив ОВК и увидев, сохраняется или нет его канонический вид. Но здесь возникают трудности. Часто ОВК неоднозначны и получаемые результаты зависят от правил, принимаемых при работе с неоднозначными выражениями. Например, ответ может зависеть от способа перехода к совпадающим временам в коммутаторе для несовпадающих времен. При вычислении коммутаторов операторов, которые сами по себе — произведения других операторов, появляются бесконечности и неоднозначности уже при образовании этих произведений (например, построение токов, билинейных по фермионным полям). В литературе есть много вычислений коммутаторов с отличающимися результатами, и можно проследить, что расхождения возникают именно из-за различных способов обхода неоднозначностей.

К счастью, для наших целей можно ввести однозначный способ вычисления коммутаторов, так как здесь сравниваются - предсказания алгебры токов с явными динамическими предсказаниями теории. Для последовательной проверки ОВК должны вычисляться по той же технике, что и все остальные величины в теории. Пока единственный способ вычисления физических величин—перенормированная теория возмущений, приводящая к конечным, хорошо определенным функциям Грина. Тогда и ОВК должны вычисляться из (известных) функций Грина, что достигается методом Бьёркена, Джонсона и Лоу (БДЛ), который сейчас обсудим.

Рассмотрим матричный элемент -произведения двух операторов А и В:

Матричный элемент определяется по БДЛ как

Альтернативное определение коммутатора — коэффициент при члене в разложении при больших Во всех последующих вычислениях будем определять коммутатор из известного -произведения с помощью уравнения (3.2). Если предел (3.2) расходится, то это интерпретируется как утверждение о расходимости конкретного матричного элемента ОВК. Можно привести «выводы» формулы БДЛ, которые справедливы, если допуститьряд математических манипуляций. Выводы служат только длягмотивировки результата и гарантии того, что в несингулярных случаяхопределение коммутатора по БДЛ совпадает обычным. Приведем три вывода с возрастающей степенью строгости.

В первом выводе [3] сначала перепишем (3.1) как

Интеграл берется по частям, поверхностные члены опускаются, и получается

Теперь заметим, что первый член в правой части (3.36) является фурье-образом величины, имеющей по переменной особенности не сильнее скачков. Следовательно, в соответствии с леммой Римана — Лебега этот член исчезает при Таким образом, в пределе совпадает с (3.2). Данный вывод также показывает, как можно получить аномальный неканонический результат из определения БДЛ. Именно, может оказаться, что при каноническом вычислении А с помощью операторных уравнений движения теории получается ответ, ведущий к сингулярному поведению Тогда вопреки формальным соображениям этот член может остаться в пределе больших и дать неисчезающую добавку к каноническому значению что приводит к неканоническому значению предела по определению, интерпретируется как неканоническое значение коммутатора.

Вторым выводом является оригинальный вывод Бьёркена [1]. Определим

С помощью интегрального представления для -функции

Т-произведение (3.1) можно записать в виде

Это так называемое представление Лоу для -произведения.

Умножив на и перейдя к пределу получим

Согласно определению (3.4), имеем, что (3.66) совпадает с уравнением (3.2):

Этот вывод явно демонстрирует физический смысл ОВК, определенного согласно БДЛ. Именно в соответствии с (3.66) коммутатор выражается через спектральные функции . А они, в свою очередь, связаны с непосредственно измеряемыми матричными элементами и В:

Третий вывод принадлежит Джонсону и Лоу [21. Рассмотрим -произведение в координатном пространстве:

Одновременный коммутатор можно определить как

При интеграл в (3.8) можно перенести на комплексную плоскость замыкая контур в нижней полуплоскости. Аналогично при контур интегрирования можно замкнуть в верхней полуплоскости. В пределе интегралы вдоль вещественной оси в двух членах (3.9) взаимно уничтожаются, и получается

Предположим теперь, что для существует разложение по обратным степеням Контурный интеграл по часовой стрелке равен — так что вклад в дает только член Назовем эту часть Тогда

и его фурье-преобразование эквивалентно (3.2). Джонсон и Лоу далее показали, что изложенный вывод остается в силе и тогда, когда главная сингулярность при больших имеет вид . Одновременный коммутатор в этом случае логарифмически расходится. Аналогично сингулярность вида интерпретируется как квадратичная расходимость коммутатора.

Отметим, что когда теорема БДЛ была впервые открыта, она во многих случаях применялась для вывода высокоэнергетического поведения амплитуд. Была идея записать

и вычислить правую часть (3.11) каноническим методом. Однако, как было продемонстрировано еще в работе Джонсона и Лоу, использование для этого канонического коммутатора не оправдано. То, что в общем случае высокоэнергетическое поведение амплитуд не определяется таким способом, было недавно подтверждено вновь и описано как «нарушение теоремы БДЛ».

Заметим, что теорема БДЛ определяет коммутатор из -произведения, а не из ковариантного -произведения. В теории возбуждений, однако, вычисляется ковариантная величина, и необходимо выделить -произведение. Для этого вспомним, что разность между и -произведениями локальна по координатам и, следовательно, является полиномом по в импульсном пространстве. Поэтому перед применением техники БДЛ к величинам, вычисленным в теории возмущений, необходимо отбросить все полиномиальные по величины.

Ясно, что разложение по обратным степеням можно обобщить и на более высокие порядки. Из (3.3а) легко видеть, что если исчезает, то

Если предел расходится, то матричный элемент бесконечен. Коммутаторы с достаточным числом производных по времени скорее всего бесконечны, поскольку маловероятно, чтобы разложение по обратным степеням можно было продолжить бесконечно.

Список литературы с комментариями

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление