Главная > Физика > Лекции по алгебре токов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.4. Аномальное тождество Уорда

Для дальнейшего понимания создавшейся ситуации вычислим входящее в (4.66). Соответствующие диаграммы Фейнмана приведены на рис. 2. В первых двух диаграммах (см. рис. 2, а) аксиальный ток связан непосредственно с фермионной петлей. В последних двух диаграммах (см. рис. 2, б) аксиальный ток связан сначала с пионом с константой приобретая, таким образом, нужный пионный полюс.

Интегральное представление имеет вид:

Очевидно, что проверка тождества Уорда

использованного при выводе теоремы Сазерленда — Вельтмана, эквивалентна доказательству того, что

В выводе теоремы требуется также выполнение векторного тождества Уорда, т. е. калибровочная инвариантность. В наших обозначениях оно эквивалентно условию

Покажем, что и (4.16), и (4.17) не могут быть выполнены одновременно для определенного уравнением (4.15).

Важным свойством диаграмм рис. 2, а, ответственным за это аномальное поведение, является их линейная расходимость. В отличие от в (4.13) линейная расходимость не убирается вычислением следов. В линейно расходящихся интегралах незаконно сдвигать переменную интегрирования. Это легко увидеть в одномерном случае. Рассмотрим

Рис. 2. Диаграммы Фейнмана для амплитуды — в наинизшем порядке теории (4.11)

Если можно сдвинуть переменную интегрирования в первом интеграле то Чтобы увидеть, что не обязательно равно нулю, разложим подынтегральное выражение:

Проинтегрировав по частям, получаем:

Когда интеграл сходится (или расходится не более чем логарифмически), имеем и Однако для линейно расходящегося интеграла и не обязано исчезать:

Эта величина называется поверхностным членом. Таково же положение и в -мерных интегралах по пространству Минковского.

Рассмотрим

где — произвольный -вектор. Поверхностный член может быть вычислен и результат отличен от нуля (см. упражнение (4.1):

В приложении к данной задаче отсюда следует, что интеграл (4.15в) для дающий вклад в не определен однозначно.

Причина в том, что при записи (4.15в) был выбран импульс интегрирования вполне определенным образом. Это импульс фермиона между двумя фотонными линиями. Однако его можно выбрать любым другим образом, так что этот фермион будет нести импульс где а — произвольный -вектор. Если бы интеграл не расходился линейно, то сдвигом переменной интегрирования можно было бы вернуться к старому выбору Однако в данном случае подобный сдвиг привел бы к поверхностным членам.

В обычных вычислениях расходящихся фейнмановских диаграмм такими неоднозначностями пренебрегают. Эти проблемы обходятся с помощью символического обрезания, а затем импульс обрезания устраняется из теории с помощью процедуры перенормировки. Для наших целей необходимо проследить за всеми возможными источниками неоднозначности. Для этого заменим выражение (4.15в) для классом выражений, параметризованных произвольным -вектором

Поверхностный член равен (см. упражнение 4.2)

Класс векторов можно частично ограничить требованием, чтобы не вводились никакие дополнительные векторы, кроме уже имеющихся в задаче. Поэтому полагаем Классу функций отвечает класс функций

Заметим, что бозе-симметрия соблюдена.

Можно считать «правильным» любой член семейства функций Различные функции из семейства отличаются только полиномами от ковариантными контактными членами. Попытаемся теперь определить а из векторных и аксиально-векторных тождеств Уорда. Предположим, что для некоторого определенного а будет удовлетворять этим тождествам. Как будет видно из дальнейшего, такого значения а не существует.

Можно вычислить определенное согласно (4.15), и найти таким образом явную формулу для Вычисление проводится обычными методами; следует лишь помнить, что сдвиги переменной интегрирования приводят к неисчезающим, но хорошо определенным членам. Замечательно то, что конечный результат сходится, так как при симметричном интегрировании выпадает не только линейная, но и следующая по важности логарифмическая расходимость. Таким образом, можно прийти к конечной, однозначной формуле для (Незаконность сдвига переменной интегрирования следует только из формальной степени расходимости интеграла, даже если по случайной причине результат и конечен.) Подробные расчеты имеются в литературе [5]; для проверки тождеств Уорда эта формула не понадобится; вполне достаточно интегрального представления (4.15).

Рассмотрим сначала аксиальное тождество Уорда. Найдем Из (4.15в) следует, что

Переписав как

имеем

Первый интеграл есть умноженное на [см. (4.13)]. В третьем интеграле можно переставить с меняя общий знак интеграла и знак Из-за

цикличности следа можно поставить этот член в конце выражения, сократив с последним из пропагаторов. Тогда мы остаемся с

Каждый из двух интегралов должен исчезать, поскольку нельзя составить двухиндексный псевдотензор, зависящий только от одного вектора. Следовательно,

Таким образом, для удовлетворения аксиальному тождеству Уорда переменная интегрирования должна быть выбрана, как на рис. 2, т. е. а надо положить равным нулю. Заметим, что при этой проверке не потребовалось никаких сдвигов переменной интегрирования. Векторное тождество Уорда, т. е. калибровочная инвариантность, как сейчас увидим, не может быть удовлетворена таким же образом.

Теперь надо найти Согласно (4.15),

Используя тождества

(4.25а) можно записать как.

Первый и последний интегралы в (4.256) исчезают, так как они являются двухиндексными псевдотензорами, зависящими от одного вектора. Остающиеся два интеграла должны взаимно уничтожаться, если для них разрешены сдвиги переменной интегрирования. К сожалению, такие сдвиги ведут к конечным вкладам. Если вычислить поверхностный член, то получается, (см. упражнение 4.3):

Следовательно,

Бозе-симметрия обеспечивает аналогичное тождество Уорда и по индексу

Видно, что выбор обеспечивающий векторное тождество Уорда, отличен от выбора обеспечивающего аксиальное тождество Уорда. Отсюда следует, что не существует способа вычисления при котором удовлетворялись бы оба тождества Уорда. Этот замечательный результат тем более поразителен, что в явных расчетах сходящаяся величина.

Нельзя ли добавить к контактный член, который восстановил бы оба тождества Уорда? Если бы такой член существовал, то все были бы рады включить его в определение даже если он и не возникает «естественным образом» из интегрирования. Следует уяснить, что это невозможно. Любой контактный член, который можно добавить, должен быть трехиндексным псевдотензором, полиномиальным по Из бозе-симметрии следует, что он должен быть пропорционален Но это тот же произвол в который допускался [см. (4.22)], и он недостаточен для удовлетворения обоим тождествам Уорда.

Столкнувшись с невозможностью сохранить оба тождества Уорда, надо решить, какое из Них сохранить, а какое отбросить, т. е. нужно выбрать а. Векторное тождество Уорда—следствие калибровочной инвариантности, в то время как аксиальное следует из уравнения движения Ясно, что первый из принципов существенно важнее, и следует положить Если бы существовал физический принцип, гарантирующий сохранение и аксиального тока, то ситуация была бы намного проблематичнее. Так что нам повезло, что в действительности пионы не являются безмассовыми. Таким образом, приходим к заключению, что причиной нарушения теоремы Сазерленда — Вельтмана является нарушение аксиального тождества Уорда. Если используется моди фицированное тождество Уорда, то меняется и теорема Сазерленда — Вельтмана, и новый вывод из нее согласуется с явными расчетами. При выборе, обеспечивающем калибровочную инвариантность, тождества Уорда имеют вид

Теорема Сазерленда — Вельтмана теперь меняется в наиболее существенном месте [см. (4.6а)]. Вместо этого уравнения получаем

Первый член в скобках тот же, что и ранее. Следовательно,

Это согласуется с прямыми расчетами [см. (4.14)].

Явление нарушения тождества Уорда в теории возмущений известно уже из квантовой электродинамики. Например, тензор поляризации вакуума и амплитуда рассеяния фотона на фотоне, вычисленные в спинорной электродинамике по теории возмущений, не поперечны по импульсу фотона, как это должно быть. Обычным способом восстановления калибровочной инвариантности является техника регуляризации Паули — Вилларса. Покажем, как эта техника работает в обсуждаемом случае.

Напомним, что, согласно методу регуляризации Паули — Вилларса, амплитуда с интегрированиями по петлям рассматривается как функция массы частиц в петле. Регуляризованная амплитуда определяется как разность между данной амплитудой и той же амплитудой, вычисленной при внутренней массе, равной

регуляризующей массе. Физическая амплитуда определяется после перехода к пределу бесконечной регуляризующей массы. Для амплитуды распада пиона имеем, таким образом:

Здесь регуляризованная, а Три — физическая амплитуда. Согласно (4.14), исчезает при больших как

Это то, что и должно быть, так как вычисляется однозначно из конечного интеграла. В то же время для амплитуды с аксиальным током имеем:

Рассмотрим теперь векторное тождество Уорда. Согласно (4.26а),

Для аксиального тождества Уорда, согласно (4.24) и (4.30в),

Так как то остается

Видно, что в технике Паули — Вилларса автоматически вычисляется калибровочно-инвариантное выражение для амплитуды. В этой технике что ведет, как мы видели, к нарушению аксиального тождества Уорда.

Неприятности с матричным элементом аксиального тока не ограничиваются -моделью. Ясно, что к трудностям ведет треугольная диаграмма. Такая диаграмма возникает в спинорной электродинамике, в кварковой модели и вообще в любой модели, где имеется билинейный по фермионным полям аксиальный ток. Это позволяет обобщить полученные результаты за рамки конкретной омодели [6].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление