Главная > Физика > Лекции по алгебре токов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.5. Аномальные коммутаторы

Итак, вычисление вектор-вектор-аксиально-векторной треугольной диаграммы приводит к формуле для не удовлетворяющей тождествам Уорда, ожидаемым в наивном подходе. Следующая задача — понять нарушение тождеств Уорда в терминах аномальных коммутаторов, которые должны быть ответственны за такое положение дел [7].

Согласно теореме БДЛ, ОВК между различными токами можно вычислить из высокоэнергетического поведения треугольной диаграммы. Очевидно, необходимо выйти за массовую поверхность фотона чтобы можно было менять произвольно временную компоненту -импульса фотона, как это необходимо в технике БДЛ. Нам достаточно сойти с массовой поверхности только одного фотона. Таким образом, надо рассмотреть

Черточки над и напоминают, что один из фотонов находится вне массовой поверхности. Черточка над указывает на то, что мы изучаем не полный аксиальный ток -модели (4.12а), а его часть, билинейную по нуклонным полям, так что матричный элемент низшего порядка содержит только треугольную диаграмму рис. 2, а. Заметим также, что в данном случае интересно не -произведение, а -произведение, так как именно второе дает ОВК, согласно определению БДЛ.

Согласно правилам гл. 3, можно вычислить ОВК по следующей формуле:

Последовательность вычислений такова. Вычислим треугольную диаграмму, как и ранее, с тем исключением, что 4-импульс фотона теперь находится вне массовой поверхности. Из явной формулы для ее вклада в амплитуду (она дает -произведение, так как вычисляется из ковариантных правил Фейнмана) выделим нековариантное -произведение, отбрасывая все контактные члены — все полиномы по Это дает явные формулы для Отметим, что при таком расчете несущественны неопределенности, которых было много в расчете в предыдущем разделе. Дело в том, что все трудности, которые встречались ранее, — это контактные члены, но ими сейчас пренебрежем.

Расчет соответствующей треугольной диаграммы есть в литературе [8]. Интеграл, как и прежде, приводит к конечному результату. Получающиеся коммутаторы после выполнения указанного в (4.35) предельного перехода имеют следующий вид:

Здесь антисимметричный сохраняющийся дуальный электромагнитный тензор; Предлагая запись (4.36), не подразумеваем, что вывели ОВК каким-либо операторным методом, а имеем в виду только то, что предел (4.35) неисчезающий и что это отличное от нуля выражение получается вновь после вычисления соответствующего матричного элемента от (4.36). Например, непосредственный расчет показывает:

Правая часть (4.37) получается и тогда, когда (4.36а) подставляется в правую часть (4.35). Строго говоря, мы только показали, что имеет неканонические вклады, матричные элементы которых между состояниями одного фотона и вакуума совпадают с теми же матричными элементами операторов в правой части (4.36).

Видно, что в ОВК между временными компонентами появился неканонический ШЧ [см. (4.36а)]. Следовательно, согласно проведенному в гл. 2 анализу, гипотеза Фейнмана не может выполняться для обоих тождеств Уорда. Чтобы убедиться в нарушении именно гипотезы Фейнмана [9], перепишем в формализме гл. 2:

(4.38а) Согласно (4.36), ШЧ имеет вид

Формулу (4.386) можно переписать как полную дивергенцию:

Тогда контактный член, делающий ковариантным -произведение дается уравнением

Здесь, как и раньше, является ковариантным контактным членом, остающимся пока неопределенным. Теперь можно найти ковариантные величины определяемые согласно (2.47):

Очевидно,

Наконец, найдем ковариантные контактные члены, используя соотношение (2.48). Они требуют отсутствия градиентов -функции в следующих комбинациях:

Первое из этих уравнений обеспечивает выполнение гипотезы Фейнмана для векторного тождества Уорда по а второе делает то же самое для аксиального тождества Уорда по

Можно проверить, что решением обоих уравнений (4.41) является

Таким образом, оказывается, что гипотеза Фейнмана может быть удовлетворена по обоим индексам. Однако контактный член (4.42) неприемлем по следующим причинам. Явная зависимость его от векторного потенциала указывает на исчезновение градиентной инвариантности. Вспомним, что все операторы, которые сейчас рассматриваем, должны быть вставлены между вакуумом и однофотонным состоянием. Если один из них — векторный потенциал, то этот матричный элемент не будет калибровочно-инвариантным. Следовательно, нужно отвергнуть этот контактный член и ограничиться таким, который позволяет удовлетворить гипотезе Фейнмана в

одном или другом из двух тождеств Уорда. Можно легко показать, что такой контактный член имеет вид

Здесь а — произвольный параметр, который определяется тем, какому из двух тождеств Уорда решим удовлетворить. Выбор приводит к взаимному уничтожению вкладов ШЧ и контактных членов в векторном тождестве по в то время как делает это же в аксиальном тождестве по Если остановиться на первом выборе, то

Второй член в правой части (4.44) является аномальным. Итак, причина невыполнения тождества Уорда в том, что ОВК между отличается от своего канонического значения и приобретает неканоническую добавку. Подобные неканонические члены возникают из внутренних особенностей локальной квантовой теории. Они приводят к незаконности манипуляций обычной алгебры токов.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление